floating-point - IEEE754 : guarantees on division results

Question

考虑:

x 是一个正整数，其最大值不太可能超过 10,000,000。

y是一个>=0的小整数，最大值约为5；如有必要，我可以设置上限。

z 被计算出来，然后四舍五入到最接近的整数，中间的情况向上四舍五入。我对数字正确答案向上舍入的情况感兴趣，但 double 754 给出“错误”答案，然后向下舍入。因此，换句话说，数值正确的结果有一个 >=0.5 的小数部分，但实际结果的小数部分是 <0.5。

我使用的语言不允许我访问 FPU 设置，所以我只能使用默认设置(主要是 x86_64、Linux 和 Windows)。

我是否只需要接受某些答案是“错误”的，或者我是否可以对 x 和 y 施加一些限制以保证给出所需的答案？还是有一种替代计算方法可以在四舍五入后给出正确答案？如有必要，如果我确实可以保证结果，我还可以更改 z 的舍入方式的定义。

Answer 1

假设:

• x ≤ 10,000,000。
• 0 ≤ y ≤ 5。
• 使用 IEEE-754 基本 64 位二进制 float ，四舍五入到偶数。

那么除法的结果永远不会是小数部分小于 ½ 的数字，而是四舍五入到 ½。

最大的结果出现在 x = 10,000,000 和 y = 0 时，在这种情况下 z = 10,000,000。那么 z 的整数部分有 24 位。浮点格式的有效位有 53 位，因此小数部分仍有 29 位可用。这意味着任何小于 ½ − 2⁻³⁰ 的小数部分都将四舍五入为 ½ − 2⁻²⁹ 或更小(因为可用于小数的位能够使很好的区别——如果数学结果小于 ½ − 2⁻³⁰，则有一个比 ½ 更接近它的可表示值，因此使用较低的值。

因此，只有分数在 [½ − 2⁻³⁰, ½) 中的精确数学结果可能小于 ½ 但四舍五入为 ½。让 z 成为这样一个值，并让 t 成为它的小数部分。

从问题的陈述中，我们知道z • 10^y 是一个整数(x ).因此 t • 10^y 是一个整数，即使 y 小于 5， t • 10⁵ 是一个整数。

因为 t 在 [½ − 2⁻³⁰, ½), t • 10⁵ 是在 [(½ − 2⁻³⁰) • 10⁵, ½ • 10⁵) = [50,000 − 2⁻³⁰ • 10⁵, 50,000) = [50,000 - 0.0000931322574615478515625, 50,000).

显然，这个区间内没有整数，所以不存在这样的z。