python - 用 `AB⁻¹` 计算 `np.linalg.solve()`

Question

我需要计算 AB⁻¹在 Python/Numpy 中用于两个矩阵 A和 B ( B 当然是正方形)。

我知道np.linalg.inv()将允许我计算 B⁻¹ ，然后我可以乘以 A .
我也知道B⁻¹A实际上是 better用 np.linalg.solve() 计算.

受此启发，我决定重写 AB⁻¹在 np.linalg.solve() 方面.
我得到了一个基于 identity 的公式(AB)ᵀ = BᵀAᵀ , 使用 np.linalg.solve()和 .transpose() :

np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()

这似乎在做这项工作:

import numpy as np


n, m = 4, 2
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)))
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

并且对于足够大的输入也会更快地出现:

n, m = 400, 200
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

%timeit np.matmul(b, np.linalg.inv(a))
# 100 loops, best of 3: 13.3 ms per loop
%timeit np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()
# 100 loops, best of 3: 7.71 ms per loop

我的问题是:这个身份是否 总是 站立正确还是我忽略了一些角落案例？

Answer 1

一般来说， np.linalg.solve(B, A) 相当于 B-1A .剩下的就是数学了。

在所有情况下，(AB)T = BTAT :https://math.stackexchange.com/q/1440305/295281 .

对于这种情况不是必需的，但对于可逆矩阵，(AB)-1 = B-1A-1 :https://math.stackexchange.com/q/688339/295281 .

对于可逆矩阵，(A-1)T = (AT)-1 也是这种情况:https://math.stackexchange.com/q/340233/295281 .

由此得出(AB-1)T = (B-1)TAT = (BT)-1AT .只要B是可逆的，在任何情况下，您提出的转换都应该没有问题。