trigonometry - 用任意点找到两条平行线之间的最短距离

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我需要写一个 可靠 检索以下场景答案的方法...

给定一个线段 AB 和一个任意点 C，我如何在平行于通过点 C 的 AB 的线上找到最接近 A 的点？ (上面提到的可靠是指算法能够找到 D，同时允许 A、B 和 C 的坐标完全任意和不可预测。我遇到了很多我无法适应的解决方案可能的情况，可悲的是......)

对于下图中显示的数据，我如何可靠地找到 D 的 x,y 坐标？

A = <425, 473>
B = <584, 533>
C = <371, 401>
D = <???, ???>

知道 AB 和 CD 是平行的，这显然意味着斜率相同。

我尝试了许多不同的公式都无济于事，并且已经为此努力了数周。我难住了!

Answer 1

这是一个最小化问题。

一般来说，N维空间中两点(A和B)之间的欧几里得距离由下式给出
Dist(A,B) = sqrt((A1-B1)^2 + ... + (AN-BN)^2)

如果你需要找到一条空间曲线 A(t)(一个嵌入在某个 N 维空间中的一维物体)和一个点 B 之间的最小距离，那么你需要解这个方程:

d Dist(A(t),B) / dt = 0    // (this is straightforward calculus: we're at either a minimum or maximum when the rate of change is 0)

并根据距离函数测试这组根(t1、t2 等)，以找出哪个根产生 D 的最小值。

现在找到以 y=mx+b 形式通过 C 的平行线的方程:

m = (Ay - By)/(Ax-Bx)
b = Cy - mCx

让我们把它写成空间曲线的形式，并将它插入我们第 1 部分的公式中:

Dist(D(t),A) = sqrt((t-Ax)^2 + (m*t+b-Ay)^2)

取我们的导数:

d Dist(D(t),A)/ dt = d sqrt((t-Ax)^2 + (m*t+b-Ay)^2) / dt 

= (t + (m^2)*t - Ax + m*b - m*Ay)/sqrt(t^2 + (m^2)t^2 - 2*t*Ax + 2*m*t*b - 2*m*t*Ay + (Ax)^2 + (Ay)^2 + b^2 - 2*b*Ay )
= ((1+m^2)*t - Ax + m*b - m*Ay)/sqrt((1+m^2)*(t^2)  + 2*t*(m*b - Ax - m*Ay) + (Ax)^2 + (Ay)^2 + b^2 - 2*b*Ay )

将 this 设置为 0 并求解 t 产生:
t = (Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2)
作为唯一的根(您可以通过替换回并验证所有内容是否按需要取消来自己检查)。

将这个 t 值重新插入我们的空间曲线会产生以下结果:
D=<(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2),b+m*(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2)>

然后，如果您想要 A、B、C 方面的显式解，或者如果您只想要数值解，则可以插入 m 和 b 的表达式，只需将其计算为三步过程:

m = (Ay - By)/(Ax-Bx)
b = Cy - mCx
D=<(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2),b+m*(Ax-m*b+m*Ay)/(1+m^2)>

这将适用于所有具有平行直线的情况。将其作为数字(而不是分析)代码实现时的一个警告:如果线条垂直定向，计算 m = (Ay-By)/(Ax-Bx) 将导致除以 0，这将使您的代码无法工作.您可以按如下方式放入安全阀:

if( Ax == Bx) {
    D = <Cx,Ay>
} else {
    // normal calculation here
}

对于严肃的数值工作，您可能希望在容差方面实现它，而不是由于舍入误差和所有有趣的东西(即 abs(Ax-Bx) < epsilon，而不是 Ax==Bx)而进行的直接比较