r - 在 R 中使用蒙特卡洛模拟股票价格

Question

在图表中模拟股票价格 80 美元超过 90 天的 50 个样本路径，建模为几何布朗运动，漂移参数为 0.1，波动率为 0.5。在图表中显示此过程在垂直轴上的价格选项和水平轴上的时间。求 90 天内期权价格至少上涨到 100 美元的概率。

library(sde)
mu<-0.1
sigma<-0.5
P0<-80 #initial price
T <-90/360 #time in years
nt=10000 #number of trajectories within each simulation
n=100 #time periods
dt<-T/n #length of time periods
t <- seq(0,T,by=dt)
X=matrix(rep(0,length(t)*nt),nrow = nt)
for(i in 1:nt) {
  X[i,]=GBM(x=P0, r=mu, sigma=sigma, T=T, N=n)
}
ymax=max(X); ymin=min(X) #bounds for simulated prices
plot(t,X[1,],type="l", ylim=c(ymin,ymax), col=1, xlab="Time", ylab="Price Y(t)")
for(i in 2:nt){
  lines(t,X[i,], type='l', ylim=c(ymin, ymax), col=i)
}
Prob<-sum(nt>=100)/nt
Prob

Answer 1

答案取决于您如何解释参数 t、n 和 T。

我做了一些假设:因为

T <- 90/360

我想，这意味着一年有 90 天(大约 360 天，这在金融领域很常见)。您对 t

的定义

n <- 100
dt <- T/n
t <- seq(0, T, by=dt)

给出模拟的时间步长，因此您的第 90 天简单地由 max(t) = 0.25 = T 和索引 101 给出， 的最后一个元素>t.

X 包含随机过程的 50 条路径，由 X[i,] 索引，时间步长 j 由 X 给出[,j]。因此，如果您想知道第 90 天 50 次模拟的值，只需查看 X[,101]。

所以您想知道在第 90 天有多少条路径超过 100。只需按以下数计算即可

success <- sum(X[,101] >= 100)

如果您想计算一个经验概率，只需将它们除以您的路径数即可。因此

emp_prob <- success/nt