haskell - (\f -> fmap f id) 是否总是等价于 arr？

Question

Category 的一些实例也是 Functor 的实例.例如:

{-# LANGUAGE ExistentialQuantification, TupleSections #-}

import Prelude hiding (id, (.))
import Control.Category
import Control.Arrow

data State a b = forall s. State (s -> a -> (s, b)) s

apply :: State a b -> a -> b
apply (State f s) = snd . f s

assoc :: (a, (b, c)) -> ((a, b), c)
assoc (a, (b, c)) = ((a, b), c)

instance Category State where
    id = State (,) ()
    State g t . State f s = State (\(s, t) -> assoc . fmap (g t) . f s) (s, t)

(.:) :: (Functor f, Functor g) => (a -> b) -> f (g a) -> f (g b)
(.:) = fmap . fmap

instance Functor (State a) where
    fmap g (State f s) = State (fmap g .: f) s

instance Arrow State where
    arr f = fmap f id
    first (State f s) = State (\s (x, y) -> fmap (,y) (f s x)) s

这里 arr f = fmap f id对于 instance Arrow State . Category 的所有实例都是如此吗？这也是 Functor 的实例?类型签名是:

arr               ::                 Arrow    a  => (b -> c) -> a b c
(\f -> fmap f id) :: (Functor (a t), Category a) => (b -> c) -> a b c

在我看来，它们应该是等价的。

Answer 1

首先让我们明确一下 Arrow C方法。嗯，这是两个完全不同的东西结合在一起——在我的书中，

well-pointed monoidal categories的类(class).

categories which generalise Hask的类(class).

arr来自后者。 “概括” 哈斯克 ?这意味着只是从类别 中进行映射。哈斯克至 C . – 在数学上，从一个类别映射到另一个类别正是 functor做! (标准的 Functor 类实际上只涵盖了一种非常特殊的仿函数，即 Hask 上的内仿函数。) arr是非内仿函数的态射方面，即“规范嵌入仿函数” 哈斯克 → C .

从这个角度来看，前两个箭头定律

arr id = id
arr (f >>> g) = arr f >>> arr g

只是仿函数定律。

现在，如果您正在实现 Functor，这意味着什么？一个类别的实例？为什么，我敢说这只是意味着您正在表达相同的规范嵌入仿函数，但是通过 C 的必要表示回到 哈斯克 (这使它成为一个整体的内仿函数)。因此，我认为是的， \f -> fmap f id应该等价于 arr ，因为基本上它们是表达同一事物的两种方式。