python - 傅立叶变换 Sympy 什么都不做？

Question

sympy 能够快速计算傅立叶变换还是我需要其他软件？因为我尝试了很多东西。不过，我对 python 和 Sympy 缺乏经验。有没有更快的方法用 python 进行这些傅立叶变换？

1. (a +j\omega)/(4a^2 + (a+j\omega)^2) )我这样试过

    from sympy import poly, pi, I, pow
    from sympy.abc import a,f, n, k
    n = poly(a**2 + t**2)
    k = t / n
    fourier_transform(k , t, 2*pi*f)

我收到这条消息:

另一个来自 Python 3.9 shell 的例子: 那么实际结果呢？

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目前，如果傅立叶变换返回一个 PieceWise 表达式，它会大惊小怪，只会返回一个未计算的表达式。所以 SymPy 可以进行积分，只是形式不是很好。这是手动集成后的结果。

如果你想要这样的答案，你可以自己使用这个函数来获得这个结果。

def my_fourier_transform(f, t, s):
    return integrate(f*exp(-2*S.Pi*I*t*s), (t, -oo, oo)).simplify()

可以看到长条件有 arg(a) 和 arg(s) 应该是 sign(a) 和 sign(s) 分别(假设它们是实值)。在 Wolfram Alpha 中做了类似的事情后，我认为这是一个正确的结果。这不是一个很好的。

但我发现了一个有用的技巧。如果 SymPy 难以简化某些事情，如果您的主要目标只是获得答案，通常给它更强的假设是可行的方法。很多时候，即使假设不成立，答案仍然是正确的。所以我们让变量为正。

请注意，如以下评论所述，SymPy 对 Wolfram Alpha 的转换方式不同。这就是为什么我的第三个论点不同。

from sympy import *
a, s, t = symbols('a s t', positive=True)
f = t / (a**2 + t**2)
# Wolfram computes integral(f(t)*exp(I*t*w))
# SymPy computes integral(f(t)*exp(-2*pi*I*s*t))
# So w = -2*pi*s
print(fourier_transform(f, t, -s))
# I*pi*exp(-2*pi*a*s)

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如果我错了，请纠正我，但根据维基百科:

所以 Dirac Delta 的傅立叶变换为 1。

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使用上面定义的my_fourier_transfrom，我们得到

第一个条件始终为假。这可能是 SymPy 的失败，因为这个积分发散了。我认为这是因为它无法确定它是 oo、-oo 还是 zoo。