r - R中的符号导数和简化

Question

在 R 中，我有以下表达式，我想对 s 取逐次导数( theta 和 nu 只是未指定的参数):

expr <- expression(exp((nu / (theta * (1 - nu))) *
  (1 - (1 + theta * s / nu)^(1 - nu))))

为此，我递归地使用 D()象征性地计算简单表达式的导数的函数。

但是该函数没有执行任何简化，即它没有将结果简化为更简单的形式。

例如，如果您尝试取 10 次导数，您会发现结果非常棒，并且需要大量计算时间。在极限情况下，至少在我的计算机上几乎不可能计算 15 次导数。

因此，我认为值得尝试简化 n-1计算 n 之前的 th 导数导数。

我认为可以简化 R 中的表达式，这要归功于 Ryacas包裹。

但是，我的测试还没有定论...

有没有人有过这样的问题的经验？
有人可以给我一些建议吗？

先感谢您!

Answer 1

这里有一个例子:

> library(Ryacas)
> s <- Sym("s")
> nu <- Sym("nu")
> theta <- Sym("theta")
> e <- exp((nu / (theta * (1 - nu))) * (1 - (1 + theta * s / nu)^(1 - nu)))
> de <- deriv(e, s)
> de
expression(-(exp((1 - (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * 
    (1 - nu))) * (theta * (1 - nu) * (nu * ((theta * s/nu + 1)^(1 - 
    nu - 1) * ((1 - nu) * (nu * theta)))))/nu^2)/(theta * (1 - 
    nu))^2)
> Simplify(de)
expression(-(exp((1 - (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * 
    (1 - nu))) * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1)))

请注意，我们确实得到了一些简化，但简化并不完美，因为 1 - nu - 1最后可以进一步简化，但没有。

这是一个重复导数的示例(但是，如果您确实需要将其取至 10，则可能会遇到麻烦):

> de <- e
> for(i in 1:3) print(de <- Simplify(deriv(de, s)))
expression(-(exp((1 - (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * 
    (1 - nu))) * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1)))
expression((((theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1))^2 * exp((1 - (theta * 
    s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * (1 - nu))) * nu^2 + exp((1 - 
    (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * (1 - nu))) * theta * 
    nu^2 * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1 - 1))/nu^2)
expression((-3 * (nu * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1) * (theta * 
    s/nu + 1)^(1 - nu - 1 - 1) * theta) - nu * ((theta * s/nu + 
    1)^(1 - nu - 1))^3 - nu * theta^2 * (theta * s/nu + 1)^(1 - 
    nu - 1 - 1 - 1) - theta^2 * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 
    1 - 1 - 1)) * exp((1 - (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * 
    (1 - nu)))/nu)

添加:

如果不需要中间结果，可以这样做以获得二阶导数，但它不太可能处理 10 阶导数:

> Simplify(deriv(e, s, 2))
expression(exp((1 - (theta * s/nu + 1)^(1 - nu)) * nu/(theta * 
    (1 - nu))) * (theta * (theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1 - 1) + 
    ((theta * s/nu + 1)^(1 - nu - 1))^2))