处理非线性实数算术的 z3 限制

Question

我有一个程序可以在非线性实数算术中生成一组约束。考虑以下两个约束:

(< (- (- (- (+ (* (- v0_x v3_x) (- v1_y v3_y) (+ (* (- v2_x v3_x) (- v2_x v3_x)) (* (- v2_y v3_y) (- v2_y v3_y)))) (* (- v0_y v3_y) (- v2_x v3_x) (+ (* (- v1_x v3_x) (- v1_x v3_x)) (* (- v1_y v3_y) (- v1_y v3_y)))) (* (- v1_x v3_x) (- v2_y v3_y) (+ (* (- v0_x v3_x) (- v0_x v3_x)) (* (- v0_y v3_y) (- v0_y v3_y))))) (* (- v1_y v3_y) (- v2_x v3_x) (+ (* (- v0_x v3_x) (- v0_x v3_x)) (* (- v0_y v3_y) (- v0_y v3_y))))) (* (- v0_y v3_y) (- v1_x v3_x) (+ (* (- v2_x v3_x) (- v2_x v3_x)) (* (- v2_y v3_y) (- v2_y v3_y))))) (* (- v0_x v3_x) (- v2_y v3_y) (+ (* (- v1_x v3_x) (- v1_x v3_x)) (* (- v1_y v3_y) (- v1_y v3_y))))) 0)

(> (- (- (- (+ (* (- v0_x v2_x) (- v1_y v2_y) (+ (* (- v3_x v2_x) (- v3_x v2_x)) (* (- v3_y v2_y) (- v3_y v2_y)))) (* (- v0_y v2_y) (- v3_x v2_x) (+ (* (- v1_x v2_x) (- v1_x v2_x)) (* (- v1_y v2_y) (- v1_y v2_y)))) (* (- v1_x v2_x) (- v3_y v2_y) (+ (* (- v0_x v2_x) (- v0_x v2_x)) (* (- v0_y v2_y) (- v0_y v2_y))))) (* (- v1_y v2_y) (- v3_x v2_x) (+ (* (- v0_x v2_x) (- v0_x v2_x)) (* (- v0_y v2_y) (- v0_y v2_y))))) (* (- v0_y v2_y) (- v1_x v2_x) (+ (* (- v3_x v2_x) (- v3_x v2_x)) (* (- v3_y v2_y) (- v3_y v2_y))))) (* (- v0_x v2_x) (- v3_y v2_y) (+ (* (- v1_x v2_x) (- v1_x v2_x)) (* (- v1_y v2_y) (- v1_y v2_y))))) 0)

当我将它们断言到 Z3 时，它说它是可满足的，但是一旦我将第二个约束更改为 (< ... 0) 而不是现在应该不可满足的 (> ... 0)，z3永远运行。我想知道 z3 在处理非线性实数运算方面的局限性。 Z3 是否有可能处理上述约束(例如通过改变它们的制定方式或任何其他方式)？

Answer 1

是的，当我们改变(< ... 0)至 (> ... 0)问题变得不可满足，并且有一个简单的证明，因为它变成了 p < 0 and p > 0 .简化后，您帖子中的两个多项式相同。然而，Z3 遗漏了这个简单的证明。这将在下一版本中修复。同时，我们可以使用自定义策略捕获具有这种简单证明的示例。

(check-sat-using (then (! simplify :som true) (! simplify :sort-sums true) smt))

此策略执行多项式归一化并调用检测 p < 0 中不一致的引擎和 p > 0 .整个示例可在线获取:http://rise4fun.com/Z3/JP4 .我也把它贴在了消息的末尾。

Z3 一直在运行，因为它错过了简短/简单的证明，并尝试使用更昂贵和更完整的方法找到证明。 Z3 使用的算法描述为here .该算法使用基于 subresultants 的投影算子.此操作非常昂贵，并且会为您的示例生成非常大的多项式。此过程适用于包含小多项式且每个多项式上都有一小组变量的问题。 future ，我们计划结合完整和不完整的技术，改进 Z3 可以在合理时间内解决的问题集。

(declare-const v0_x Real)
(declare-const v1_x Real)
(declare-const v2_x Real)
(declare-const v3_x Real)
(declare-const v4_x Real)
(declare-const v0_y Real)
(declare-const v1_y Real)
(declare-const v2_y Real)
(declare-const v3_y Real)
(declare-const v4_y Real)


(assert
(< (- (- (- (+ (* (- v0_x v3_x) (- v1_y v3_y) (+ (* (- v2_x v3_x) (- v2_x v3_x)) (* (- v2_y v3_y) (- v2_y v3_y)))) (* (- v0_y v3_y) (- v2_x v3_x) (+ (* (- v1_x v3_x) (- v1_x v3_x)) (* (- v1_y v3_y) (- v1_y v3_y)))) (* (- v1_x v3_x) (- v2_y v3_y) (+ (* (- v0_x v3_x) (- v0_x v3_x)) (* (- v0_y v3_y) (- v0_y v3_y))))) (* (- v1_y v3_y) (- v2_x v3_x) (+ (* (- v0_x v3_x) (- v0_x v3_x)) (* (- v0_y v3_y) (- v0_y v3_y))))) (* (- v0_y v3_y) (- v1_x v3_x) (+ (* (- v2_x v3_x) (- v2_x v3_x)) (* (- v2_y v3_y) (- v2_y v3_y))))) (* (- v0_x v3_x) (- v2_y v3_y) (+ (* (- v1_x v3_x) (- v1_x v3_x)) (* (- v1_y v3_y) (- v1_y v3_y))))) 0.0))

(assert
(< (- (- (- (+ (* (- v0_x v2_x) (- v1_y v2_y) (+ (* (- v3_x v2_x) (- v3_x v2_x)) (* (- v3_y v2_y) (- v3_y v2_y)))) (* (- v0_y v2_y) (- v3_x v2_x) (+ (* (- v1_x v2_x) (- v1_x v2_x)) (* (- v1_y v2_y) (- v1_y v2_y)))) (* (- v1_x v2_x) (- v3_y v2_y) (+ (* (- v0_x v2_x) (- v0_x v2_x)) (* (- v0_y v2_y) (- v0_y v2_y))))) (* (- v1_y v2_y) (- v3_x v2_x) (+ (* (- v0_x v2_x) (- v0_x v2_x)) (* (- v0_y v2_y) (- v0_y v2_y))))) (* (- v0_y v2_y) (- v1_x v2_x) (+ (* (- v3_x v2_x) (- v3_x v2_x)) (* (- v3_y v2_y) (- v3_y v2_y))))) (* (- v0_x v2_x) (- v3_y v2_y) (+ (* (- v1_x v2_x) (- v1_x v2_x)) (* (- v1_y v2_y) (- v1_y v2_y))))) 0.0))

(check-sat-using (then (! simplify :som true) (! simplify :sort-sums true) smt))