signal-processing - 为什么在时域和频域中执行时卷积结果具有不同的长度？

Question

我不是 DSP 专家，但我知道有两种方法可以将离散时域滤波器应用于离散时域波形。第一个是在时域中对它们进行卷积，第二个是对两者进行 FFT，将两个复频谱相乘，并对结果进行 IFFT。这些方法的一个主要区别是第二种方法是循环卷积。

例如，如果滤波器和波形都是 N 点长，则第一种方法(即卷积)产生 N+N-1 点长的结果，其中该响应的前半部分是滤波器填满，第二部分是一半是过滤器排空。为了获得稳态响应，滤波器的点数需要少于要滤波的波形点数。

用第二种方法继续这个例子，假设离散时域波形数据都是真实的(不是复数)，滤波器的 FFT 和波形都产生 N 点长的 FFT。将两个频谱相乘 IFFT'ing 结果会产生一个也是 N 点长的时域结果。这里滤波器填满和清空的响应在时域中相互重叠，没有稳态响应。这就是循环卷积的效果。为避免这种情况，通常滤波器尺寸将小于波形尺寸，并且两者都将被补零，以便在对两个频谱的乘积进行 IFFT 之后为频率卷积留出时间扩展的空间。

我的问题是，我经常看到知名专家/公司在文献中的工作，他们有一个离散(真实)时域波形(N 点)，他们对其进行 FFT，乘以某个滤波器(也是 N 点)，并对结果进行 IFFT 以供后续处理。我天真的想法是这个结果应该不包含稳态响应，因此应该包含来自过滤器填充/清空的伪影，这会导致解释结果数据的错误，但我一定遗漏了一些东西。在什么情况下这是一种有效的方法？

任何见解将不胜感激

Answer 1

基本问题不在于零填充与假设的周期性，而是傅立叶分析将信号分解为正弦波，在最基本的层面上，假设其范围是无限的。 两种方法都是正确的 因为使用完整 FFT 的 IFFT 将返回准确的输入波形，而 两种方法都不正确 因为使用少于全光谱会导致边缘效应(通常会扩展几个波长)。唯一的区别在于你假设的细节填充了无穷大的其余部分，而不是你是否在做假设。

回到您的第一段:通常，在 DSP 中，我遇到的 FFT 的最大问题是它们是非因果关系，因此我通常更喜欢停留在时域中，例如使用 FIR 和 IIR 滤波器.

更新:

在问题陈述中，OP 正确指出了使用 FFT 对信号进行滤波时可能出现的一些问题，例如边缘效应，在进行长度(在时域中)可比的卷积时，这些问题尤其成问题) 到采样波形。重要的是要注意，并非所有滤波都是使用 FFT 完成的，并且在 OP 引用的论文中，他们没有使用 FFT 滤波器，并且使用他们的方法不会出现 FFT 滤波器实现中出现的问题。

例如，考虑使用两种不同的实现方式对 128 个样本点进行简单平均的滤波器。

FFT :在 FFT/卷积方法中，会有一个样本，例如 256 个点，并将其与一个 wfm 卷积，该 wfm 在前半部分是恒定的，在后半部分变为零。这里的问题是(即使在这个系统运行了几个周期之后)，是什么决定了结果的第一个点的值？ FFT 假设 wfm 是圆形的(即无限周期)，因此:结果的第一个点由 wfm 的最后 127 个(即 future )样本(跳过 wfm 的中间)或由 127 个零确定如果你零垫。两者都不正确。

FIR :另一种方法是使用 FIR 滤波器实现平均值。例如，这里可以使用 128 个寄存器的 FIFO 队列中的平均值。也就是说，当每个样本点进来时，1) 将其放入队列，2) 将最旧的项目出队，3) 对队列中剩余的所有 128 个项目求平均值；这是您对该样本点的结果。这种方法连续运行，一次处理一个点，并在每个样本后返回过滤后的结果，并且没有 FFT 在应用于有限样本块时出现的任何问题。每个结果只是当前样本和它之前的 127 个样本的平均值。

OP引用的论文采用了一种更类似于FIR滤波器而不是FFT滤波器的方法(注意虽然论文中的滤波器更复杂，整篇论文基本上是对这个滤波器的分析。)参见，例如, this free book它描述了如何分析和应用不同的滤波器，并还注意到拉普拉斯分析 FIR 和 IIR 滤波器的方法与引用的论文中发现的非常相似。