performance - 矩阵乘法的最大 FLOPS Intel/AMD CPU

Question

我估算英特尔 CPU 的最大 FLOPs/s 的公式是

Max SP FLOPs/s = frequencey * 4 SSE(8AVX) * 2 (MAC) * number of cores (not HW threads)
Max DP FLOPs/s = 0.5 * Max SP FLOPs/s

我所说的 MAC 是指 CPU 可以同时执行一个 SSE(AVX) 乘法和加法。在我使用的系统上，负载下的最大频率是 2.66 GHz。它只有 SSE，核心数(不是硬件线程)为 4。这给出了:Max SP FLOPs/s = 85.12 GFLOPs/s。

矩阵乘法的 FLOP 数约为 2*n*m*k。对于 n=1000 的方阵，它是 2*10E9 FLOPs(20 亿 FLOPs)。一旦我知道时间，我就可以估计 FLOPs/s。

但是，对于我自己的代码，我能得到的最好结果是大约 40 SP GFLOPs/s，例如 n=1000。我得到与 Eigen 大致相同的结果。这大约是 45% 的效率。我对最大值的计算是错误的吗？对于大型密集矩阵乘法，英特尔 CPU 的最佳效率是多少？有人有描述这个的论文吗？

我知道在GPU上效率可以超过60%。 http://www.anandtech.com/show/6774/nvidias-geforce-gtx-titan-part-2-titans-performance-unveiled/3

编辑:对于 n=500，我得到了类似的结果，它很容易适合我系统的 12MB L3 缓存，因此缓存似乎不是限制因素(尽管也许我可以更有效地使用它)。

编辑2:Eigen Benchmarks 表明它与 MKL(对于 SSE)一样好。他们使用 Intel(R) Core(TM)2 Quad CPU Q9400 @ 2.66GHz。所以 2.66* 2(DP SSE) *2 MAC * 4 核 = 42.25 DP GFLOPs/s。你可以在图中看到他们都不到 20。像我这样大约有 45% 的人。 http://eigen.tuxfamily.org/index.php?title=Benchmark

http://ark.intel.com/products/35365/Intel-Core2-Quad-Processor-Q9400-6M-Cache-2_66-GHz-1333-MHz-FSB

编辑3:这是我为任何关心的人编写的代码。我可以得到比这稍微好一点的结果，但也好不了多少。我正在为 SEE/AVX 使用 Agner Fog 的矢量类。并将 Vec8f 设置为 float8，将 Vec4d 设置为 double4

//SGEMM and AVX call MM_tile<float, float8>(nthreads, a, b, c, n, m, k);
template <typename ftype, typename floatn>
void GEMM_tile(const int nthreads, const ftype*A , const ftype* B, ftype* C, const int N, const int M, const int K) {       
    for(int i=0; i<N; i++) {
       for(int j=0; j<K; j++) {
           C[K*i + j] = 0;
       }
    }   
    const int nc = 32;
    const int kc = 32;
    const int mc = 32;
    omp_set_num_threads(nthreads);
    #pragma omp parallel for if(nthreads>1)
    for(int ii=0; ii<N; ii+=nc) {
        for(int jj=0; jj<K; jj+=kc)
            for(int ll=0; ll<M; ll+=mc) {
                const int nb = min(N-ii, nc);
                const int kb = min(K-jj, kc);
                const int mb = min(M-ll, mc);
                MM_block<ftype, floatn>(nb, mb, kb, &A[M*ii+ll], N, &B[K*ll+jj], K, &C[K*ii+jj], K );
            }
     }
}

template <typename ftype, typename floatn>
void MM_block(int n, int m, int k, const ftype *a, const int stridea, 
                                   const ftype *b, const int strideb,
                                   ftype *c, const int stridec ) {
    const int vec_size = sizeof(floatn)/sizeof(ftype);
    for(int i=0; i<n; i+=4) {
        for(int j=0; j<k; j+=vec_size) {
            Dot4x4_vec_block<ftype, floatn>(m, &a[strideb*i], &b[j], &c[stridec*i + j], stridea, strideb, stridec);
    }
}

template <typename ftype, typename floatn>
inline void Dot4x4_vec_block(const int n, const ftype *a, const ftype *b, ftype *c, const int stridea, const int strideb, const int stridec) {
    floatn tmp0, tmp1, tmp2, tmp3;
    load(tmp0, &c[stridec*0]);
    load(tmp1, &c[stridec*1]);
    load(tmp2, &c[stridec*2]);
    load(tmp3, &c[stridec*3]);

    ftype *a0_ptr = (ftype*)&a[stridea*0];
    ftype *a1_ptr = (ftype*)&a[stridea*1];
    ftype *a2_ptr = (ftype*)&a[stridea*2];
    ftype *a3_ptr = (ftype*)&a[stridea*3];
    for(int i=0; i<n; i++) {
        floatn breg = floatn().load(&b[i*strideb + 0]);

        floatn areg0 = *a0_ptr++;
        floatn areg1 = *a1_ptr++;
        floatn areg2 = *a2_ptr++;
        floatn areg3 = *a3_ptr++;

        tmp0 += areg0 * breg;
        tmp1 += areg1 * breg;
        tmp2 += areg2 * breg;
        tmp3 += areg3 * breg;
}
    tmp0.store(&c[stridec*0]);
    tmp1.store(&c[stridec*1]);
    tmp2.store(&c[stridec*2]);
    tmp3.store(&c[stridec*3]);
}

Answer 1

通常，处理吞吐量的限制因素是内存带宽，尤其是在您的工作集不适合 CPU 缓存的情况下(float 的 1000×1000 矩阵将占用~4 MB，而您的 CPU 可能有 2 MB L3 缓存)。在这种情况下，您的算法结构可能会对其执行方式产生很大影响，但您通常会在某个时候碰壁，因为您正在等待来自某些算法的值而无法更快地运行内存层次结构中的更高级别。

此外，您的理论数字假设您有足够的指令而没有数据依赖性，可以让所有执行单元在每个周期都执行任务。这在实践中可能很难做到。我不确定一般矩阵乘法的最佳吞吐量是多少，但请查看 this previous question了解有关如何最大限度地提高指令吞吐量的信息。