3D Perlin 噪声分析导数

Question

我目前正在使用 Shader Model 4 (DirectX 10 HLSL) 实现 3D Perlin 噪声凹凸贴图。生成噪声本身并不是一个大问题(周围有大量的教程和代码)，但我还没有找到 3D Perlin 噪声的分析导数。

唯一考虑衍生品的网站是 Ińigo Quilez's site和一个相关的 GameDev.net discussion .问题是在第一个链接中，噪声是基于值的，而不是基于梯度的(这是我的要求)，在第二个链接中，只有 2D 梯度噪声导数。

请注意，我不是在寻找数值导数，因为它们需要生成 4 个相邻的噪声样本，而且开销太大。

有没有人计算过这些导数？是否有使用它们的引用实现？

Answer 1

我今天在网上也找不到解决方案，所以我试图推导它。

首先定义了 3D Perlin 噪声的符号。

符号

假设 3D Perlin 噪声由三线性插值计算为

n = Lerp(
        Lerp(
            Lerp(dot000, dot100, u),
            Lerp(dot010, dot110, u),
            v), 
        Lerp(
            Lerp(dot001, dot101, u), 
            Lerp(dot011, dot111, u),
            v),
        w)

哪里 u , v , w是分数坐标的五次多项式的插值因子(即改进的柏林噪声):

x0 = frac(x)
y0 = frac(y)
z0 = frac(z)
x1 = x0 - 1
y1 = y0 - 1
z1 = z0 - 1

u = x0 * x0 * x0 * (x0 * (6 * x0 - 15) + 10)
v = y0 * y0 * y0 * (y0 * (6 * y0 - 15) + 10)
w = z0 * z0 * z0 * (z0 * (6 * z0 - 15) + 10)

和 dot___ s 是梯度向量的点积 (gx___, gy___, gz___) s 在格点和分数坐标:

dot000 = gx000 * x0 + gy000 * y0 + gz000 * z0
dot100 = gx100 * x1 + gy100 * y0 + gz100 * z0
dot010 = gx010 * x0 + gy010 * y1 + gz010 * z0
dot110 = gx110 * x1 + gy110 * y1 + gz110 * z0
dot001 = gx001 * x0 + gy001 * y0 + gz001 * z1
dot101 = gx101 * x1 + gy101 * y0 + gz101 * z1
dot011 = gx011 * x0 + gy011 * y1 + gz011 * z1
dot111 = gx111 * x1 + gy111 * y1 + gz111 * z1

计算导数

首先，计算 u 的导数, v和 w

u' = 30 * x0 * x0 * (x0 - 1) * (x0 - 1)
v' = 30 * y0 * y0 * (y0 - 1) * (y0 - 1)
w' = 30 * z0 * z0 * (z0 - 1) * (z0 - 1)

通过扩展 n与 Lerp(a, b, t) = a + (b - a) * t ,

n = dot000 
  + u(dot100 - dot000)
  + v(dot010 - dot000)
  + w(dot001 - dot000)
  + uv(dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
  + uw(dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
  + vw(dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
  + uvw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)

然后取 n的偏导数,

nx = gx000
   + u'  (dot100 - dot000)
   + u   (gx100 - gx000)
   + v   (gx010 - gx000)
   + w   (gx001 - gx000)
   + u'v (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gx110 - gx010 - gx100 + gx000)
   + u'w (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gx101 - gx001 - gx100 - gx000)
   + vw  (gx011 - gx001 - gx010 + gx000)
   + u'vw(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gx111 - gx011 - gx101 + gx001 - gx110 + gx010 + gx100 - gx000)

,

ny = gy000
   + u   (gy100 - gy000)
   + v'  (dot010 - dot000)
   + v   (gy010 - gy000)
   + w   (gy001 - gy000)
   + uv' (dot110 - dot010 - dot100 + dot000)
   + uv  (gy110 - gy010 - gy100 + gy000)
   + uw  (gy101 - gy001 - gy100 + gy000)
   + v'w (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gy011 - gy001 - gy010 + gy000)
   + uv'w(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gy111 - gy011 - gy101 + gy001 - gy110 + gy010 + gy100 - gy000)

,

nz = gz000
   + u   (gz100 - gz000)
   + v   (gz010 - gz000)
   + w'  (dot001 - dot000)
   + w   (gz001 - gz000)
   + uv  (gz110 - gz010 - gz100 + gz000)
   + uw' (dot101 - dot001 - dot100 + dot000)
   + uw  (gz101 - gz001 - gz100 + gz000)
   + vw' (dot011 - dot001 - dot010 + dot000)
   + vw  (gz011 - gz001 - gz010 + gz000)
   + uvw'(dot111 - dot011 - dot101 + dot001 - dot110 + dot010 + dot100 - dot000)
   + uvw (gz111 - gz011 - gz101 + gz001 - gz110 + gz010 + gz100 - gz000)

然后 (nx, ny, nz)是噪声函数的梯度向量(偏导数)。

优化

一些常见的子表达式可以被分解出来，如果编译器不能处理它。例如:

uv = u * v
vw = v * w
uw = u * w
uvw = uv * w

扩展中的系数 n被多次重复使用。它们可以通过以下方式计算:

k0 = dot100 - dot000
k1 = dot010 - dot000
k2 = dot001 - dot000
k3 = dot110 - dot010 - k0
k4 = dot101 - dot001 - k0
k5 = dot011 - dot001 - k1
k6 = (dot111 - dot011) - (dot101 - dot001) - k3

导数也有相似的系数，

gxk0 = gx100 - gx000
gxk1 = gx010 - gx000
...

n的计算可以使用 k0 的扩展形式, ... k6以及。

最后的话

该解决方案已针对中心差分法进行了验证。

虽然这个解决方案看起来很笨拙，但我的实验(仅限 CPU，SSE)表明，通过这个解决方案计算这些导数只会产生大约 50% 的额外时间 计算单个 3D Perlin 噪声样本。

有限差分至少需要 300% 的额外时间(做额外 3 个样本)或 600%(做 6 个样本进行中心差分)。

因此，该解决方案在性能上更好，并且在数值上也应该更稳定。