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一段时间以来,我一直在为 Lambda 微积分苦苦挣扎。有很多资源可以解释如何减少嵌套的 lambda 表达式,但很少能指导我编写自己的 lambda 表达式。
我正在尝试使用纯 lambda 演算(即单参数函数、教堂数字)在 Racket 中编写递归斐波那契解决方案。
这些是我一直在使用的教会数字的定义:
(define zero (λ (f) (λ (x) x)))
(define one (λ (f) (λ (x) (f x))))
(define two (λ (f) (λ (x) (f (f x)))))
(define three (λ (f) (λ (x) (f (f (f x))))))
(define four (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f x)))))))
(define five (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f (f x))))))))
(define six (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f (f (f x)))))))))
(define seven (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f (f (f (f x))))))))))
(define eight (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f (f (f (f (f x)))))))))))
(define nine (λ (f) (λ (x) (f (f (f (f (f (f (f (f (f x))))))))))))
(define succ (λ (n) (λ (f) (λ (x) (f ((n f) x))))))
(define plus (λ (n) (λ (m) ((m succ) n))))
(define mult (λ (n) (λ (m) ((m (plus n)) zero))))
(define TRUE (λ (t) (λ (f) t)))
(define FALSE (λ (t) (λ (f) f)))
(define COND (λ (c) (λ (x) (λ (y) ((c x) y)))))
(define iszero (λ (x) (x ((λ (y) FALSE) TRUE))))
(define pair (λ (m) (λ (n) (λ (b) (((IF b) m) n)))))
(define fst (λ (p) (p TRUE)))
(define snd (λ (p) (p FALSE)))
(define pzero ((pair zero) zero))
(define psucc (λ (n) ((pair (snd n)) (succ (snd n)))))
(define pred (λ (n) (λ (f) (λ (x) (((n (λ (g) (λ (h) (h (g f))))) (λ (u) x))(λ (u) u))))))
(define sub (λ (m) (λ (n) ((n pred) m))))
(define leq (λ (m) (λ (n) (iszero ((sub m) n))))) ;; less than or equal
(define Y ((λ (f) (f f)) (λ (z) (λ (f) (f (λ (x) (((z z) f) x))))))) ;; Y combinator
(define (fib depth)
(if (> depth 1)
(+ (fib (- depth 1)) (fib (- depth 2)))
depth))
(define fib
(λ (x) ((leq x) one)))
(((fib three) add1) 0)
fib(zero)
一起工作高达
fib(six)
就足够了,因为我可以担心以后会扩展教会的定义。
iszero
函数在我的实现中是一个隐藏的破坏者。这是一个正确的版本,其中包含来自 Alex 答案的更新后的 bool 值:
(define iszero (λ (x) ((x (λ (y) FALSE)) TRUE)))
(define TRUE (λ (t) (λ (f) (t))))
(define FALSE (λ (t) (λ (f) (f))))
最佳答案
分支形式和短路
如果你使用像 Racket 这样急切(而不是懒惰)的语言,你需要小心你如何编码像 COND
这样的分支形式。功能。
您现有的 bool 值和条件定义是:
(define TRUE (λ (t) (λ (f) t)))
(define FALSE (λ (t) (λ (f) f)))
(define COND (λ (c) (λ (x) (λ (y) ((c x) y)))))
> (((COND TRUE) "yes") "no")
"yes"
> (((COND FALSE) "yes") "no")
"no"
> (if #true "yes" (error "shouldn't get here"))
"yes"
> (if #false (error "shouldn't trigger this either") "no")
"no"
COND
评估两个分支,仅仅是因为 Racket 的函数应用程序评估所有参数:
> (((COND TRUE) "yes") (error "shouldn't get here"))
;shouldn't get here
> (((COND FALSE) (error "shouldn't trigger this either")) "no")
;shouldn't trigger this either
#lang lazy
)是将 thunk 传递给这样的分支形式:
(((COND TRUE) (λ () "yes")) (λ () (error "doesn't get here")))
(define TRUE (λ (t) (λ (f) (t)))) ; note the extra parens in the body
(define FALSE (λ (t) (λ (f) (f)))) ; same extra parens
COND
form 可以像以前一样定义,但你必须以不同的方式使用它。翻译
(if c t e)
在你写之前的地方:
(((COND c) t) e)
(((COND c) (λ () t)) (λ () e))
(λ () expr)
如
{expr}
这样我就可以这样写:
(((COND c) {t}) {e})
> (((COND TRUE) {"yes"}) {(error "shouldn't get here")})
"yes"
(Y (λ (fib)
(λ (x)
(((COND ((leq x) one))
{x})
{... (fib (sub x two)) ...}))))
(λ () ....)
's 和 bool 值的新定义,这将永远循环,因为 Racket 的急切(而不是懒惰)参数评估。
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