math - 将点积夹在四元数的 Slerp 中

Question

我正在查看两个不同来源的 Slerp 插值法在两个四元数之间进行插值。它们非常相似，除了一个显着差异:一个将点积限制在 0 和 1 之间，另一个将点积限制在 -1 和 1 之间。Here是其中之一:

glm::fquat Slerp(const glm::fquat &v0, const glm::fquat &v1, float alpha)
{
    float dot = glm::dot(v0, v1);

    const float DOT_THRESHOLD = 0.9995f;
    if (dot > DOT_THRESHOLD)
        return Lerp(v0, v1, alpha);

    glm::clamp(dot, -1.0f, 1.0f); //<-- The line in question
    float theta_0 = acosf(dot);
    float theta = theta_0*alpha;

    glm::fquat v2 = v1 - v0*dot;
    v2 = glm::normalize(v2);

    return v0*cos(theta) + v2*sin(theta);
}

这是另一个:

template <typename T>
inline QuaternionT<T> QuaternionT<T>::Slerp(T t, const QuaternionT<T>& v1) const
{
    const T epsilon = 0.0005f;
    T dot = Dot(v1);

    if (dot > 1 - epsilon) {
        QuaternionT<T> result = v1 + (*this - v1).Scaled(t);
        result.Normalize();
        return result;
    }

    if (dot < 0) //<-The lower clamp
        dot = 0;

    if (dot > 1)
        dot = 1;

    T theta0 = std::acos(dot);
    T theta = theta0 * t;

    QuaternionT<T> v2 = (v1 - Scaled(dot));
    v2.Normalize();

    QuaternionT<T> q = Scaled(std::cos(theta)) + v2.Scaled(std::sin(theta));
    q.Normalize();
    return q;
}

我认为值得注意的是第二个中的 Lerp 算法似乎并不适用于所有情况？

我只想要一些关于这些差异的反馈，以及它们是否真的很重要。

Answer 1

如果您在两个四元数 q1 和 q2 之间执行 slerp，即使您在将它们传递给函数之前将它们归一化， float 差异会导致它们的内积最终略大于 1 或小于负 1。这将使 acos 崩溃。当然，在您提供的两个代码片段中，如果 dot(q1,q2)>1，代码会进行线性插值并立即返回。所以钳位到+1是不必要的。在第二个示例中，我没有发现 Lerp 有任何特别的问题。

对于这两种情况，钳位到 0 或 -1 通常是不必要的，并且可能是一个坏主意。

最主要的是，如果两个四元数的内积是负数，则在它们之间进行插值意味着要走很远的路。澄清一下，如果两条线之间的角度为 30 度，您还可以通过旋转 330 度将一条线插值到另一条线上。方向空间也是如此。

单位四元数是方向的 2x 冗余表示；因此，如果两个四元数之间的内积小于零，您通常会在插值之前取反其中一个的所有元素。

如果您确实想要进行长距离插值，则固定到 -1 是正确的。将点积钳制为零会严重破坏事情。如果您不想进行长距离插值，在将四元数传递给这些函数之前，您应该始终确保非负内积，因为它们不会为您做这件事.因此不需要钳位到零。