discrete-mathematics - 使用离散方法计算导数

Question

我正在寻找一种使用离散和快速方法计算导数的方法。由于现在我不知道我拥有的方程类型，我正在寻找类似于我们可以为积分找到的离散方法，例如欧拉方法。

Answer 1

我认为您正在寻找以点计算的导数。
如果是这种情况，这里有一个简单的方法来做到这一点。你需要知道一点的导数，比如 .它由 h->0 的差商的极限给出:



您实际上需要实现限制功能。那么你:

定义一个epsilon，设置得越小越精确，越大越快

计算起始h的差商，假设h=0.01，存入 f1

现在在一个 DO-WHILE 循环中:

1-将 h 除以 2(或除以 10，重要的是使它更小)
2- 用新的 h 值再次计算差商，将其存储在 中f2
3-套差异 = abs(f2-f1)
4- 分配 f1 = f2
5- 从第 1 点开始重复 而(差异> epsilon)

您最终可以返回 f1(或 f2)作为 f'(a)

的值

记住:
您假设函数在 中是可微的 .
由于您的计算机可以处理的有限十进制数字的错误，您将得到的每个结果都将是错误的，这是无法逃避的。

python中的示例:

def derive(f, a, h=0.01, epsilon = 1e-7):
    f1 = (f(a+h)-f(a))/h
    while True: # DO-WHILE
        h /= 2.
        f2 = (f(a+h)-f(a))/h
        diff = abs(f2-f1)
        f1 = f2
        if diff<epsilon: break
    return f2

print "derivatives in x=0"
print "x^2: \t\t %.6f" % derive(lambda x: x**2,0)
print "x:\t\t %.6f" % derive(lambda x: x,0)
print "(x-1)^2:\t %.6f" % derive(lambda x: (x-1)**2,0)

print "\n\nReal values:"
print derive(lambda x: x**2,0)
print derive(lambda x: x,0)
print derive(lambda x: (x-1)**2,0)

输出:

derivatives in x=0
x^2:         0.000000
x:       1.000000
(x-1)^2:     -2.000000


Real values:
7.62939453125e-08
1.0
-1.99999992328

我第一次得到“精确”值，因为只使用了结果的前 6 位数字，注意我使用了 1e-7 作为 epsilon。在此之后打印了真正的计算值，它们显然在数学上是错误的。选择多小的 epsilon 取决于您希望结果的精确程度。