termination - 无法解决的尺寸限制

Question

我想在 pi 演算的转移关系的推导上定义一个大小保持函数。我无法让 Agda 相信它确实可以保持大小。我还收到了一条看起来毫无意义的错误消息，所以也许其中有线索。

我尽可能地简化了代码，同时仍然保留了设置的风格。这是序言。

{-# OPTIONS --sized-types #-}

module SizedTypes where

   open import Data.Product public hiding (swap)
   open import Relation.Binary.PropositionalEquality
   open import Size

   -- Processes.
   data Proc : Set where
      ν_ : Proc → Proc

   -- Actions.
   data ⟿ᵇ : Set where
      input : ⟿ᵇ
      boundOut : ⟿ᵇ

   data ⟿ᶜ : Set where
      out : ⟿ᶜ

   data ⟿ : Set where
      _ᵇ : ⟿ᵇ → ⟿
      _ᶜ : ⟿ᶜ → ⟿

   -- Renamings.
   data Ren : Set where

   postulate
      push : Ren
      swap : Ren
      _ᴬ*_ : Ren → ⟿ᶜ →  ⟿ᶜ

   -- Transitions.
   data _—[_]→_ : {ι : Size} → Proc → (a : ⟿) → Proc → Set where
      ν•_ : ∀ {ι P R} → _—[_]→_ {ι = ι} P (out ᶜ) R →
            _—[_]→_ {ι = ↑ ι} (ν P) (boundOut ᵇ) R
      νᵇ_ : ∀ {ι P R} {a : ⟿ᵇ} → _—[_]→_ {ι = ι} P (boundOut ᵇ) R →
            _—[_]→_ {ι = ↑ ι} (ν P) (a ᵇ) (ν R)
      νᶜ_ : ∀ {ι P R} → _—[_]→_ {ι = ι} P ((push ᴬ* out) ᶜ) R →
            _—[_]→_ {ι = ↑ ι} (ν P) (out ᶜ) (ν R)

   infixl 0 _—[_]→_

   postulate
      _ᴾ*_ : Ren → Proc → Proc
      _ᵀ*_ : ∀ {ι} (ρ : Ren) {P R} {a : ⟿ᶜ} → _—[_]→_ {ι = ι} P (a ᶜ) R →
             _—[_]→_ {ι = ι} (ρ ᴾ* P) ((ρ ᴬ* a) ᶜ) (ρ ᴾ* R)
      swap-involutive : ∀ (P : Proc) → swap ᴾ* swap ᴾ* P ≡ P
      swap∘push : swap ᴬ* push ᴬ* out ≡ out

   infixr 8 _ᵀ*_ _ᴾ*_ _ᴬ*_

   -- Structural congruence.
   infix 4 _≅_
   data _≅_ : Proc → Proc → Set where
      νν-swap : ∀ P → ν (ν (swap ᴾ* P)) ≅ ν (ν P)

现在这是我做不到的。

   -- "Residual" of a transition E after a structural congruence φ.
   ⊖ : ∀ {ι P P′} {a : ⟿} {R} (E : _—[_]→_ {ι = ι} P a R) (φ : P ≅ P′) →
       Σ[ R ∈ Proc ] _—[_]→_ {ι = ι} P′ a R
   ⊖ (ν•_ (νᶜ E)) (νν-swap P) with swap ᵀ* E
   ... | swap*E rewrite swap-involutive P | swap∘push =
      _ , {!!} -- νᵇ (ν• swap*E)
   ⊖ E φ = {!!}

粗略地说，我在匹配有相邻 ν 个 Binder 的情况，并表明如果我转置 Binder (通过在 Binder 下应用“交换”重命名)，那么推导中的相关步骤也会转置。直观上，这保留了转换推导的大小。

切换隐藏参数(在 Emacs 中)显示有问题的子句中的目标具有类型 _—[_]→_ {↑ (↑ .ι)}，所以我希望能够应用两个构造函数(在本例中为 νᵇ 和 ν•)。我还可以看到 E 的类型为 _—[_]→_ {.ι}，swap*E 也是，所以我(天真地)期望 νᵇ (ν• swap*E) 与目标大小一致。然而 Agda 提示约束不一致。

奇怪的是，如果我使用 with 子句将 ν• swap*E 引入上下文，则会出现以下错误:

.ι !=< P of type Size
when checking that the expression E has type
swap ᴾ* P —[ (push ᴬ* out) ᶜ ]→ .R

这令人费解，因为元变量 P 的选择表明 Agda 正在尝试将大小索引与 Proc 类型的变量相匹配。

我在这里做错了什么？

Answer 1

感谢 Andrea Vezzosi 在 Agda 邮件列表上回答这个问题。在这种情况下，它就像显式传递 ι 索引一样简单:

⊖ (ν• (νᶜ_ {ι} E)) (νν-swap P) with swap ᵀ* E
   ... | swap*E rewrite swap-involutive P | swap∘push
     = _ , νᵇ (ν•_ {ι = ι} swap*E)