math - 检查空间中的 4 个点是否是矩形的角点

Question

我在空间 A(x,y,z)、B(x,y,z)、C(x,y,z) 和 D(x,y,z) 中有 4 个点。如何检查这些点是否是矩形的角点？

Answer 1

您必须首先确定点是否都共面，因为矩形是 2D 几何对象，但您的点在 3 空间中。您可以通过比较叉积来确定它们是共面的，如下所示:

V1 = (B-A)×(B-C)
V2 = (C-A)×(C-D)

这将为您提供两个向量，如果 A、B、C 和 D 共面是线性相关的。通过考虑什么Wolfram has to say on vector dependence , 我们可以使用

C = (V1∙V1)(V2∙V2) - (V1∙V2)(V2∙V1)

如果 C 为 0，则向量 V1 和 V2 线性相关并且所有点共面。

接下来计算每对点之间的距离。总共应该有 6 个这样的距离。

D1 = |A-B|
D2 = |A-C|
D3 = |A-D|
D4 = |B-C|
D5 = |B-D|
D6 = |C-D|

假设这些距离都不为 0，当且仅当顶点共面(已验证)并且这些长度可以分为三对，每对的元素具有相同的长度时，这些点才形成一个矩形。如果图形是正方形，则两组对的长度相同，并且比其余对短。

更新:再读一遍，我意识到上面可以定义一个平行四边形，所以需要额外检查一下，检查最长距离的平方是否等于两个较短的距离。只有这样平行四边形也是矩形。

请记住，所有这些都是假设无限精确并且在严格的数学结构内。如果您打算对此进行编码，则需要考虑四舍五入并接受一定程度的不精确性，这在用纯数学术语说话时并不是真正的玩家。