recursion - 如何在相互递归规则归纳中修复 "Illegal schematic variable(s)"？

Question

在 Isabelle 中，我正在尝试对相互递归归纳定义进行规则归纳。这是我能够创建的最简单的示例:

theory complex_exprs
imports Main
begin

datatype A = NumA int
           | AB B
and B = NumB int
      | BA A

inductive eval_a :: "A ⇒ int ⇒ bool" and eval_b :: "B ⇒ int ⇒ bool" where
eval_num_a: "eval_a (NumA i) i" |
eval_a_b:   "eval_b b i ⟹ eval_a (AB b) i" |
eval_num_b: "eval_b (NumB i) i" |
eval_b_a:   "eval_a a i ⟹ eval_b (BA a) i"

lemma foo:
  assumes "eval_a a result"
  shows   "True"
using assms
proof (induction a)
  case (NumA x)
    show ?case by auto
  case (AB x)

在这一点上，Isabelle 以“在案例“AB”中的非法示意图变量”停止。事实上，当前的目标是 ⋀x。 ?P2.2 x ⟹ eval_a (AB x) 结果 ⟹ True 其中包含假设 ?P2.2 x。 Isabelle 说的是“示意图变量”吗？它来自哪里，我该如何摆脱它？

如果我尝试对规则进行归纳，我会遇到同样的问题:

proof (induction)
  case (eval_num_a i)
    show ?case by auto
  case (eval_a_b b i)

同样，目标是⋀bi。 eval_b b i ⟹ ?P2.0 b i ⟹ True 未知 ?P2.0 b i，我无法继续。

作为一个相关问题:我尝试使用

proof (induction rule: eval_a_eval_b.induct)

但伊莎贝尔不接受，说“无法应用初始证明方法”。

如何完成这个归纳？ (在我的实际应用中，我确实需要归纳，因为目标比 True 更复杂。)

Answer 1

关于相互递归定义的证明，无论是数据类型、函数还是归纳谓词，都必须是相互递归的。但是，在你的引理中，你只声明了 eval_a 的归纳属性，而不是 eval_b 的归纳属性。在 AB 的情况下，您显然想使用 eval_b 的归纳假设，但由于引理没有说明 eval_b 的归纳属性，伊莎贝尔不知道那是什么。所以它将其保留为原理图变量 ?P2.0。

所以，你必须陈述两个目标，比方说

lemma
  shows "eval_a a result ==> True"
  and "eval_b b result ==> True"

然后，induction a b 方法将计算出第一个语句对应于 A，第二个语句对应于 B。

归纳谓词的归纳规则失败，因为该规则消除了归纳谓词(对数据类型的归纳仅“消除”类型信息，但这不是 HOL 公式)并且它无法找到第二个归纳谓词的假设。

可以在 src/HOL/Induct/Common_Patterns.thy 中找到有关相互递归对象归纳的更多示例。