r - 从 R 中的 ca.jo 中的 Johannsen 协整法估计 t 统计量

Question

我正在研究 R 中“vars”库中的小插图工作示例。我理解小插图中的大部分示例，期望小插图的表 5 here

运行以下代码，我看到协整向量和加载点估计值的来源，但我不明白 t 统计量的来源。

我运行了这段代码:

library("vars")
data("Canada")
Canada <- Canada[, c("prod", "e", "U", "rw")]
vecm <- ca.jo(Canada[, c("rw", "prod", "e", "U")], type = "trace", ecdet = "trend", K = 3, spec = "transitory")
vecm.r1 <- cajorls(vecm, r = 1)

并得到这些特征向量和权重，

    Eigenvectors, normalised to first column:
(These are the cointegration relations)

               rw.l1     prod.l1       e.l1       U.l1   trend.l1
rw.l1     1.00000000   1.0000000  1.0000000   1.000000  1.0000000
prod.l1   0.54487553  -3.0021508  0.7153696  -7.173608  0.4087221
e.l1     -0.01299605  -3.8867890 -2.0625220 -30.429074 -3.3884676
U.l1      1.72657188 -10.2183404 -5.3124427 -49.077209 -5.1326687
trend.l1 -0.70918872   0.6913363 -0.3643533  11.424630  0.1157125

Weights W:
(This is the loading matrix)

              rw.l1      prod.l1        e.l1          U.l1      trend.l1
rw.d   -0.084814510  0.048563997 -0.02368720 -0.0016583069  5.722004e-12
prod.d -0.011994081  0.009204887 -0.09921487  0.0020567547 -7.478364e-12
e.d    -0.015606039 -0.038019447 -0.01140202 -0.0005559337 -1.229460e-11
U.d    -0.008659911  0.020499657  0.02896325  0.0009140795  1.103862e-11

它在表 5 中给出了正确的 alpha 和 beta 值。

但我不知道表 5 中的 t 统计量是在代码中的何处导出的。请问有人能给我指出正确的方向吗？

问候，

詹姆斯

Answer 1

我对 urca 最大的不满是:它不计算 beta 向量的 t 统计量。看起来作者可能在某个时候想要包含该功能(因此您在上面引用的小插图中的表 5)但没有抽出时间实际去做。

好消息:对于一个协整向量 (r=1) 的情况，有示例代码可用于获取标准误差。看这个discussion thread

当存在单个协整向量时与 urca 的长期协整关系的标准误

继续上面的示例，上面讨论的 nabble 线程给出的代码是:

 alpha <- coef(vecm.r1$rlm)[1, ]  # the coefficients on ecm1
 beta <- vecm.r1$beta  # the point estimates of beta

 resids <- resid(vecm.r1$rlm) 
 N <- nrow(resids) 
 sigma <- crossprod(resids) / N 

 ## t-stats for beta 
 beta.se <- sqrt(diag(kronecker(solve(crossprod(vecm@RK[, -1])), 
                                solve(t(alpha) %*% solve(sigma) %*% alpha)))) 
 beta.t <- c(NA, beta[-1] / beta.se) 
 names(beta.t) <- rownames(vecm.r1$beta) 
 beta.t 

这完全重现了小插图给出的标准错误。

与Gretl比较

如果我们使用 gretl 运行相同的模型，我们会得到完全相同的 beta 点估计值，但标准误差大致一致:

奖励:使用 urca 和 texreg 创建具有标准误差的协整向量的 LaTeX 表

您需要编写一个稍微笨拙的“提取”函数来将标准误差和点估计值组合成 texreg 喜欢的形式:

 extract.cajo_beta <- function(cajo, orls) {
   alpha <- coef(orls$rlm)[1, ];
   resids <- resid(orls$rlm);
   N <- nrow(resids);
   sigma <- crossprod(resids) / N;

   # get standard errors and p-values
   beta <- orls$beta
   beta.se <- sqrt(diag(kronecker(solve(crossprod(cajo@RK[, -1])), 
                                  solve(t(alpha) %*% solve(sigma) %*% alpha))));
   beta.se2 <- c(NA, beta.se);
   beta.t <- c(NA, beta[-1] / beta.se);
   beta.pval <- dt(beta.t, df= orls$rlm$df.residual)

   tr <- createTexreg(coef.names = as.character(rownames(beta)), coef = as.numeric(beta), se = beta.se2, 
         pvalues = beta.pval,
         # remove this goodness of fit measure afterwards from the table
         gof.names = c('Dummy'), gof = c(1), gof.decimal = c(FALSE)
   );
   return(tr);
 }

然后运行:

 > screenreg(extract.cajo_beta(vecm, vecm.r1))

 =================
           Model 1
 -----------------
 rw.l1      1.00  

 prod.l1    0.54  
           (0.61) 
 e.l1      -0.01  
           (0.68) 
 U.l1       1.73  
           (1.45) 
 trend.l1  -0.71 *
           (0.28) 
 -----------------
 Dummy      1     
 =================
 *** p < 0.001, ** p < 0.01, * p < 0.05