r - 用 R 代码编写 Householder QR 分解函数

Question

我正在编写一段代码来查找 R 中矩阵的 QR 因式分解。

X <- structure(c(0.8147, 0.9058, 0.127, 0.9134, 0.6324, 0.0975, 0.2785, 
0.5469, 0.9575, 0.9649, 0.1576, 0.9706, 0.9572, 0.4854, 0.8003
), .Dim = c(5L, 3L))


myqr <- function(A) {
  n <- nrow(A)
  p <- ncol(A)
  Q <- diag(n)
  Inp <- diag(nrow = n, ncol = p)

  for(k in c(1:ncol(A))) {
    # extract the kth column of the matrix
    col<-A[k:n,k]
    # calculation of the norm of the column in order to create the vector
    norm1<-sqrt(sum(col^2))
    # Define the sign positive if a1 > 0 (-) else a1 < 0(+)  
    sign <- ifelse(col[1] >= 0, -1, +1)  
    # Calculate of the vector a_r
    a_r <- col - sign * Inp[k:n,k] * norm1
    # beta = 2 / ||a-r||^2  
    beta <- 2 / sum(t(a_r) %*% a_r)
    # the next line of code calculates the matrix Q in every step
    Q <- Q - beta *Q %*% c(rep(0,k-1),a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))    
    # calculates the matrix R in each step
    A[k:n,k:p] <- A[k:n,k:p] - beta * a_r %*% t(a_r) %*% A[k:n,k:p]
    }

  list(Q=Q,R=A)
  }

但是，这里我并没有每一步都计算出代表户主反射(reflect)的矩阵H，也没有每一步都计算出矩阵A。

由于 H = I - 2 v v'，如果我乘以 Q 我得到

QH = Q - 2 (Qv) v'    // multiplication on the left
HQ = Q - 2 v (Q'v)'    // multiplication on the right

现在，这个操作应该在每一步都有效。但是，如果我考虑第一个矩阵 H 和他的第二个矩阵 H1.... 这些矩阵将比第一个矩阵小。为了避免我使用了下一行代码:

 Q <- Q - beta * Q %*% c(rep(0,k-1),a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))

但是，当我在每一步的第一个 k 条目中生成新的向量 a_r 时，我不确定为什么代码运行良好。

Answer 1

我以为您想要与 qr.default 返回的输出完全相同，它使用紧凑的 QR 存储。但后来我意识到您正在分别存储 Q 和 R 因素。

通常情况下，QR 分解只会形成R，而不会形成Q。下面，我将描述形成两者的 QR 因式分解。对二维码分解缺乏基本了解的 friend 请先阅读:lm(): What is qraux returned by QR decomposition in LINPACK / LAPACK ，其中有用 LaTeX 排列的整洁的数学公式。在下文中，我将假设您知道 Householder 反射是什么以及它是如何计算的。

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QR 分解程序

首先，Householder 反射向量是 H = I - beta * v v'(其中 beta 的计算方式与您的代码)，而不是 H = I - 2 * v v'。

然后，QR 因式分解 A = Q R 进行为 (Hp ... H2 H1) A = R，其中 Q = H1 H2 ... Hp。为了计算Q，我们初始化Q = I(单位矩阵)，然后在循环中迭代地在右侧乘以Hk。为了计算 R，我们初始化 R = A 并在循环中迭代地在左侧乘以 Hk。

现在，在第 k 次迭代，我们对 Q 和 A 进行了rank-1 矩阵更新>:

Q := Q Hk = Q (I - beta v * v') = Q - (Q v) (beta v)'
A := Hk A = (I - beta v * v') A = A - (beta v) (A' v)'

v = c(rep(0, k-1), a_r)，其中 a_r 是全反射向量的非零部分。

您拥有的代码正在以残酷的力量进行此类更新:

Q <- Q - beta * Q %*% c(rep(0,k-1), a_r) %*% t(c(rep(0,k-1),a_r))

它首先填充a_r以获得全反射向量并对整个矩阵执行rank-1更新。但实际上我们可以去掉那些零并写成(如果不清楚就做一些矩阵代数):

Q[,k:n] <- Q[,k:n] - tcrossprod(Q[, k:n] %*% a_r, beta * a_r)
A[k:n,k:p] <- A[k:n,k:p] - tcrossprod(beta * a_r, crossprod(A[k:n,k:p], a_r))

因此只有一小部分Q和A被更新。

---

对您的代码的其他一些评论

• 您已多次使用t() 和"%*%"!但几乎所有这些都可以用 crossprod() 或 tcrossprod() 代替。这消除了显式转置 t() 并且内存效率更高；

• 您初始化了另一个不必要的对角矩阵 Inp。要获得户主反射向量a_r，您可以替换

  sign <- ifelse(col[1] >= 0, -1, +1)
  a_r <- col - sign * Inp[k:n,k] * norm1
  

  通过

  a_r <- col; a_r[1] <- a_r[1] + sign(a_r[1]) * norm1
  

  其中 sign 是 R 基础函数。

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二维码分解的R代码

## QR factorization: A = Q %*% R
## if `complete = FALSE` (default), return thin `Q`, `R` factor
## if `complete = TRUE`, return full `Q`, `R` factor

myqr <- function (A, complete = FALSE) {

  n <- nrow(A)
  p <- ncol(A)
  Q <- diag(n)

  for(k in 1:p) {
    # extract the kth column of the matrix
    col <- A[k:n,k]
    # calculation of the norm of the column in order to create the vector r
    norm1 <- sqrt(drop(crossprod(col)))
    # Calculate of the reflection vector a-r
    a_r <- col; a_r[1] <- a_r[1] + sign(a_r[1]) * norm1
    # beta = 2 / ||a-r||^2  
    beta <- 2 / drop(crossprod(a_r))
    # update matrix Q (trailing matrix only) by Householder reflection
    Q[,k:n] <- Q[,k:n] - tcrossprod(Q[, k:n] %*% a_r, beta * a_r)
    # update matrix A (trailing matrix only) by Householder reflection
    A[k:n, k:p] <- A[k:n, k:p] - tcrossprod(beta * a_r, crossprod(A[k:n,k:p], a_r))
    }

  if (complete) {
     A[lower.tri(A)] <- 0
     return(list(Q = Q, R = A))
     }
  else {
    R <- A[1:p, ]; R[lower.tri(R)] <- 0
    return(list(Q = Q[,1:p], R = R))
    }
  }

现在让我们来做个测试:

X <- structure(c(0.8147, 0.9058, 0.127, 0.9134, 0.6324, 0.0975, 0.2785, 
0.5469, 0.9575, 0.9649, 0.1576, 0.9706, 0.9572, 0.4854, 0.8003
), .Dim = c(5L, 3L))

#       [,1]   [,2]   [,3]
#[1,] 0.8147 0.0975 0.1576
#[2,] 0.9058 0.2785 0.9706
#[3,] 0.1270 0.5469 0.9572
#[4,] 0.9134 0.9575 0.4854
#[5,] 0.6324 0.9649 0.8003

首先是薄 QR 版本:

## thin QR factorization
myqr(X)

#$Q
#            [,1]       [,2]        [,3]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678  0.17795345
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357
#[3,] -0.07679967  0.4754320 -0.63432053
#[4,] -0.55235290  0.3390549  0.48084552
#[5,] -0.38242607  0.5473120  0.03114461
#
#$R
#          [,1]       [,2]       [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,]  0.000000  0.9660949  0.6341076
#[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8815566

现在是完整的 QR 版本:

## full QR factorization
myqr(X, complete = TRUE)

#$Q
#            [,1]       [,2]        [,3]       [,4]       [,5]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678  0.17795345 -0.6014653 -0.3644308
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357  0.3760348  0.3104164
#[3,] -0.07679967  0.4754320 -0.63432053 -0.1497075 -0.5859107
#[4,] -0.55235290  0.3390549  0.48084552  0.5071050 -0.3026221
#[5,] -0.38242607  0.5473120  0.03114461 -0.4661217  0.5796209
#
#$R
#          [,1]       [,2]       [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,]  0.000000  0.9660949  0.6341076
#[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8815566
#[4,]  0.000000  0.0000000  0.0000000
#[5,]  0.000000  0.0000000  0.0000000

现在让我们检查 qr.default 返回的标准结果:

QR <- qr.default(X)

## thin R factor
qr.R(QR)
#          [,1]       [,2]       [,3]
#[1,] -1.653653 -1.1404679 -1.2569776
#[2,]  0.000000  0.9660949  0.6341076
#[3,]  0.000000  0.0000000 -0.8815566

## thin Q factor
qr.Q(QR)
#            [,1]       [,2]        [,3]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678  0.17795345
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357
#[3,] -0.07679967  0.4754320 -0.63432053
#[4,] -0.55235290  0.3390549  0.48084552
#[5,] -0.38242607  0.5473120  0.03114461

## full Q factor
qr.Q(QR, complete = TRUE)
#            [,1]       [,2]        [,3]       [,4]       [,5]
#[1,] -0.49266686 -0.4806678  0.17795345 -0.6014653 -0.3644308
#[2,] -0.54775702 -0.3583492 -0.57774357  0.3760348  0.3104164
#[3,] -0.07679967  0.4754320 -0.63432053 -0.1497075 -0.5859107
#[4,] -0.55235290  0.3390549  0.48084552  0.5071050 -0.3026221
#[5,] -0.38242607  0.5473120  0.03114461 -0.4661217  0.5796209

所以我们的结果是正确的!