math - 如何确定一个向量是否在其他两个向量之间？

Question

我正在寻找一种快速有效的方法来确定矢量 B 是否在矢量 A 和矢量 C 的小角度之间。通常我会使用垂直点积来确定每条线 B 的哪一边，但在这种情况下不是如此简单，原因如下:

没有一个向量可以被假定为归一化，归一化它们是我宁愿避免的额外步骤。

对于哪一边是最小的角度，我没有明确的概念，所以很难说这条线的哪一边好不好。

A 和 B 可能共线或正好相隔 180 度，在这种情况下我想返回 false。

当我在 3D 环境中工作时，我很容易将其简化为 2D，如果这能让事情变得更容易，更重要的是更快。此测试将用于需要尽可能快地运行的算法。

如果有一些简单有效的方法来确定我的垂直向量应该指向哪个方向，我可以使用两个点积进行测试。

到目前为止，我一直在考虑但没有取得太大成功的另一种方法是使用矩阵。理论上，根据我对矩阵变换的理解，我应该能够使用 A 和 C 作为基向量。然后将 B 乘以矩阵 I 应该能够通过 X 和 Y 是否都是正数来测试 B 所在的象限。如果我能让这种方法起作用，它可能是最好的，因为一个矩阵乘法应该比两个点积快，而且我不必担心哪一边的角度最小。

问题出在我的测试中，我不能简单地使用 A 和 C 作为基础并将其相乘并获得正确的行为。我真的不确定我在这里做错了什么。我已经多次遇到术语“向量空间”，我认为这与矩阵变换非常相似，对正交基或正交基没有任何要求。它和矩阵一样吗？如果没有，是否有更好的方法，我将如何使用它？

只是为了更直观地解释我在说什么:



@Aki Suihkonen
我似乎无法让它工作。编写了一个我可以运行的模拟案例，看看我是否想不出什么

对于这种情况，使用

斧头 2.9579773 斧头 3.315979

Cx 2.5879822 Cy 5.1630249

对于 B，我围绕四个象限旋转，向量将空间分成几部分。

我得到的迹象:
- 对于第一季度 --- 对于第二季度 +-- 第三季度 +-- 第 4 季度 --
假设我在环境中以与图像相同的方向旋转，我相当确定我做到了。

Answer 1

我认为 Aki 的解决方案很接近，但在某些情况下它不起作用:

从他的解决方案:

return (ay * bx - ax * by) * (ay * cx - ax * cy) < 0;

这相当于检查 B 和 A 之间的叉积是否与 C 和 A 之间的叉积具有相同的符号。

叉积 (U x V) 的符号告诉您 V 是位于 U 的一侧还是另一侧(板外，板内)。在大多数坐标系中，如果 U 需要逆时针旋转(出板)，则符号为正。

所以 Aki 的解决方案会检查 B 是否需要向一个方向旋转才能到达 A，而 C 需要向另一个方向旋转。如果是这种情况，则 B 不在 A 和 C 之内。当您不知道 A 和 C 的“顺序”时，此解决方案不起作用，如下所示:



要确定 B 是否在 A 和 C 内，您需要双向检查。即从A到B的旋转方向应与从A到C的旋转方向相同，从C到B的旋转方向应与从C到A的旋转方向相同。

这简化为:

if (AxB * AxC >= 0 && CxB * CxA >= 0)

// then B is definitely inside A and C