image-processing - 密集范围图像中表面法线的估计

Question

我正在尝试实现 Hinterstoisser et al (2011) 提出的表面法线估计但我不清楚一些要点:

1. 在等式(9)中，D(x)是否对应于像素位置x处的深度值(Z轴)？
2. 如何使用兴趣点周围的 8 个相邻点来估计梯度 ▽D 的值？

Answer 1

1. 如前所述，D 是一个密集范围图像，这意味着对于任何像素位置 x在 D 中，x = [x y]^T，D(x) 是像素位置 x 处的深度(或简称为 D(x, y))。

2. 在最小二乘意义上估计最优梯度

假设我们在 D(x) 中的深度值 5 周围有以下邻域，对于一些 x :

8   1   6
3   5   7
4   9   2

然后，使用泰勒展开

dx^T.grad(x) + 误差 = D(x + dx) - D(x)

我们得到邻域点的八个方程

[1   0]g + e = 7 - 5
[-1  0]g + e = 3 - 5
[0   1]g + e = 9 - 5
[0  -1]g + e = 1 - 5
[1   1]g + e = 2 - 5
[1  -1]g + e = 6 - 5
[-1  1]g + e = 4 - 5
[-1 -1]g + e = 8 - 5

我们可以用矩阵形式表示 Ag + e = b 为

[1  0;-1  0;0  1;0 -1;1 1;1 -1;-1 1;-1 -1]g + e= [2;-2;4;-4;-3;1;-1;3]

然后最小化平方误差||Ag - b||₂²。最小化此错误的 g^{^} 的解析解的形式为

g^{^} = (A^TA)^-1A^Tb