logarithm - 定点中的 Log2 近似

Question

我已经使用查找表和低阶多项式近似实现了定点 log2 函数，但对整个 32 位定点范围 [-1,+1) 的准确度不太满意。输入格式为 s0.31，输出格式为 s15.16。

我在这里发布这个问题，以便其他用户可以发布他的答案(一些评论在另一个线程中交换，但他们更喜欢在单独的线程中提供全面的答案)。欢迎任何其他答案，如果您能提供一些算法及其实现的速度与准确度的详细信息，我将不胜感激。

谢谢。

Answer 1

通过简单地计算定点数中的前导零位 x ，可以确定log2(x)到最接近的严格较小的整数。在许多处理器体系结构上，存在“计数前导零”机器指令或内在指令。如果这不可用，则相当有效地实现 clz()可以通过多种方式构建，其中一种包含在下面的代码中。

为了计算对数的小数部分，两个主要的明显竞争者是表格中的插值和极小极大多项式近似。在这种特定情况下，在相当小的表中进行二次插值似乎是更有吸引力的选择。 x = 2i * (1+f)，其中 0 ≤ f < 1。我们确定 i如上所述并使用 f 的前导位索引到表中。抛物线通过这个和下面的两个表格条目拟合，即时计算抛物线的参数。结果被四舍五入，并应用启发式调整以部分补偿定点算术的截断性质。最后，将整数部分相加，产生最终结果。

应该注意，计算涉及可能为负的有符号整数的右移。我们需要将这些右移映射到机器代码级别的算术右移，即 不是 由 ISO-C 标准保证。然而，在实践中，大多数编译器会做我们想要的。在本例中，我在运行 Windows 的 x64 平台上使用了英特尔编译器。

用32位字的66项表，最大绝对误差可以降低到8.18251e-6，所以满s15.16精度达到。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdint.h>
#include <math.h>

#define FRAC_BITS_OUT (16)
#define INT_BITS_OUT  (15)
#define FRAC_BITS_IN  (31)
#define INT_BITS_IN   ( 0)

/* count leading zeros: intrinsic or machine instruction on many architectures */
int32_t clz (uint32_t x)
{
    uint32_t n, y;

    n = 31 + (!x);
    if ((y = (x & 0xffff0000U))) { n -= 16;  x = y; }
    if ((y = (x & 0xff00ff00U))) { n -=  8;  x = y; }
    if ((y = (x & 0xf0f0f0f0U))) { n -=  4;  x = y; }
    if ((y = (x & 0xccccccccU))) { n -=  2;  x = y; }
    if ((    (x & 0xaaaaaaaaU))) { n -=  1;         }
    return n;
}

#define LOG2_TBL_SIZE (6)
#define TBL_SIZE      ((1 << LOG2_TBL_SIZE) + 2)

/* for i = [0,65]: log2(1 + i/64) * (1 << 31) */
const uint32_t log2Tab [TBL_SIZE] =
{
    0x00000000, 0x02dcf2d1, 0x05aeb4dd, 0x08759c50, 
    0x0b31fb7d, 0x0de42120, 0x108c588d, 0x132ae9e2, 
    0x15c01a3a, 0x184c2bd0, 0x1acf5e2e, 0x1d49ee4c, 
    0x1fbc16b9, 0x22260fb6, 0x24880f56, 0x26e2499d, 
    0x2934f098, 0x2b803474, 0x2dc4439b, 0x30014ac6, 
    0x32377512, 0x3466ec15, 0x368fd7ee, 0x38b25f5a, 
    0x3acea7c0, 0x3ce4d544, 0x3ef50ad2, 0x40ff6a2e, 
    0x43041403, 0x450327eb, 0x46fcc47a, 0x48f10751, 
    0x4ae00d1d, 0x4cc9f1ab, 0x4eaecfeb, 0x508ec1fa, 
    0x5269e12f, 0x5440461c, 0x5612089a, 0x57df3fd0, 
    0x59a80239, 0x5b6c65aa, 0x5d2c7f59, 0x5ee863e5, 
    0x60a02757, 0x6253dd2c, 0x64039858, 0x65af6b4b, 
    0x675767f5, 0x68fb9fce, 0x6a9c23d6, 0x6c39049b, 
    0x6dd2523d, 0x6f681c73, 0x70fa728c, 0x72896373, 
    0x7414fdb5, 0x759d4f81, 0x772266ad, 0x78a450b8, 
    0x7a231ace, 0x7b9ed1c7, 0x7d17822f, 0x7e8d3846, 
    0x80000000, 0x816fe50b
};

#define RND_SHIFT     (31 - FRAC_BITS_OUT)
#define RND_CONST     ((1 << RND_SHIFT) / 2)
#define RND_ADJUST    (0x10d) /* established heuristically */

/* 
   compute log2(x) in s15.16 format, where x is in s0.31 format
   maximum absolute error 8.18251e-6 @ 0x20352845 (0.251622232)
*/   
int32_t fixed_log2 (int32_t x)
{
    int32_t f1, f2, dx, a, b, approx, lz, i, idx;
    uint32_t t;

    /* x = 2**i * (1 + f), 0 <= f < 1. Find i */
    lz = clz (x);
    i = INT_BITS_IN - lz;
    /* normalize f */
    t = (uint32_t)x << (lz + 1);
    /* index table of log2 values using LOG2_TBL_SIZE msbs of fraction */
    idx = t >> (32 - LOG2_TBL_SIZE);
    /* difference between argument and smallest sampling point */
    dx = t - (idx << (32 - LOG2_TBL_SIZE));
    /* fit parabola through closest three sampling points; find coeffs a, b */
    f1 = (log2Tab[idx+1] - log2Tab[idx]);
    f2 = (log2Tab[idx+2] - log2Tab[idx]);
    a = f2 - (f1 << 1);
    b = (f1 << 1) - a;
    /* find function value for argument by computing ((a*dx+b)*dx) */
    approx = (int32_t)((((int64_t)a)*dx) >> (32 - LOG2_TBL_SIZE)) + b;
    approx = (int32_t)((((int64_t)approx)*dx) >> (32 - LOG2_TBL_SIZE + 1));
    approx = log2Tab[idx] + approx;
    /* round fractional part of result */
    approx = (((uint32_t)approx) + RND_CONST + RND_ADJUST) >> RND_SHIFT;
    /* combine integer and fractional parts of result */
    return (i << FRAC_BITS_OUT) + approx;
}

/* convert from s15.16 fixed point to double-precision floating point */
double fixed_to_float_s15_16 (int32_t a)
{
    return a / 65536.0;
}

/* convert from s0.31 fixed point to double-precision floating point */
double fixed_to_float_s0_31 (int32_t a)
{
    return a / (65536.0 * 32768.0);
}

int main (void)
{
    double a, res, ref, err, maxerr = 0.0;
    int32_t x, start, end;

    start = 0x00000001;
    end =   0x7fffffff;
    printf ("testing fixed_log2 with inputs in [%17.10e, %17.10e)\n",  
            fixed_to_float_s0_31 (start), fixed_to_float_s0_31 (end));

    for (x = start; x < end; x++) {
        a = fixed_to_float_s0_31 (x);
        ref = log2 (a);
        res = fixed_to_float_s15_16 (fixed_log2 (x));
        err = fabs (res - ref);
        if (err > maxerr) {
            maxerr = err;
        }
    }

    printf ("max. err = %g\n", maxerr);
    return EXIT_SUCCESS;
}

为了完整起见，我在下面展示了极小极大多项式近似。这种近似值的系数可以通过几种工具生成，例如 Maple、Mathematica、Sollya 或使用 Remez 算法的自制代码，这就是我在这里使用的。下面的代码显示了原始浮点系数、用于最大化中间计算精度的动态缩放，以及用于减轻非舍入定点算法影响的启发式调整。
log2(x)的典型计算方法是使用 x = 2i * (1+f) 并对 [√½, √2] 中的 (1+f) 使用 log2(1+f) 的近似值，这意味着我们使用多项式 p(f)在初级近似区间 [√½-1, √2-1] 上。

在我们希望使用 32 位 mulhi 的限制下，中间计算尽可能地扩大操作数以提高准确性。操作作为其基本构建块，因为这是许多 32 位体系结构上的 native 指令，可通过内联机器代码或作为内在指令访问。与基于表的代码一样，有符号数据的右移可能为负，并且这种右移必须映射到算术右移，这是 ISO-C 不保证但大多数 C 编译器可以保证的。

我设法将这个变体的最大绝对误差降低到 1.11288e-5，所以几乎满了 s15.16准确性，但比基于表格的变体略差。我怀疑我应该在多项式中添加一个额外的项。

/* on 32-bit architectures, there is often an instruction/intrinsic for this */
int32_t mulhi (int32_t a, int32_t b)
{
    return (int32_t)(((int64_t)a * (int64_t)b) >> 32);
}

#define RND_SHIFT  (25 - FRAC_BITS_OUT)
#define RND_CONST  ((1 << RND_SHIFT) / 2)
#define RND_ADJUST (-2) /* established heuristically */

/* 
    compute log2(x) in s15.16 format, where x is in s0.31 format
    maximum absolute error 1.11288e-5 @ 0x5a82689f (0.707104757)
*/   
int32_t fixed_log2 (int32_t x)
{
    int32_t lz, i, f, p, approx;
    uint32_t t;
    /* x = 2**i * (1 + f), 0 <= f < 1. Find i */
    lz = clz (x);
    i = INT_BITS_IN - lz;
    /* force (1+f) into range [sqrt(0.5), sqrt(2)] */
    t = (uint32_t)x << lz;    
    if (t > (uint32_t)(1.414213562 * (1U << 31))) {
        i++;
        t = t >> 1;
    }
    /* compute log2(1+f) for f in [-0.2929, 0.4142] */
    f = t - (1U << 31);
    p =              + (int32_t)(-0.206191055 * (1U << 31) -  1);
    p = mulhi (p, f) + (int32_t)( 0.318199910 * (1U << 30) - 18);
    p = mulhi (p, f) + (int32_t)(-0.366491705 * (1U << 29) + 22);
    p = mulhi (p, f) + (int32_t)( 0.479811855 * (1U << 28) -  2);
    p = mulhi (p, f) + (int32_t)(-0.721206390 * (1U << 27) + 37);
    p = mulhi (p, f) + (int32_t)( 0.442701618 * (1U << 26) + 35);
    p = mulhi (p, f) + (f >> (31 - 25));
    /* round fractional part of the result */
    approx = (p + RND_CONST + RND_ADJUST) >> RND_SHIFT;
    /* combine integer and fractional parts of result */
    return (i << FRAC_BITS_OUT) + approx;
}