julia - Julia 中的左右特征向量

Question

我有一个一般的实数矩阵(即非对称或 Hermitian 等)，我想在 Julia 中找到它的右特征向量和对应的左特征向量。

Julia 的 eigen 函数只返回正确的特征向量。我可以通过做找到左特征向量

本征(复制(M'))

但这需要复制整个矩阵并再次进行特征分解，并且不能保证特征向量的顺序相同。 (copy 是必需的，因为 Adjoint 类型的矩阵没有eigen 方法。)

在 Python 中，我们有 scipy.linalg.eigs，它可以在一次传递中同时计算左右特征向量，这样效率更高，并保证它们的顺序相同。 Julia 中有类似的东西吗？

Answer 1

可以通过取由右特征向量形成的矩阵的逆来计算左特征向量:

using LinearAlgebra   
A = [1 0.1; 0.1 1]
F = eigen(A)
Q = eigvecs(F) # right eigenvectors 
QL = inv(eigvecs(F)) # left eigenvectors 
Λ = Diagonal(eigvals(F))
# check the results
A * Q ≈ Q * Λ # returns true
QL * A ≈  Λ * QL # returns true, too
# in general we have:
A ≈ Q * Λ * inv(Q)

在上面的例子中，QL 是左特征向量。

如果将左特征向量应用于向量，计算 Q\v 比 inv(QL)*v 更可取。