python - 在python中将FFT绘制为一组正弦波？

Question

我看到有人在演示中这样做，但我很难重现他的能力。这是他演讲的幻灯片:



很酷。他使用 FFT 分解了一个数据集，然后绘制了 FFT 指定的适当正弦波。

因此，为了重现他所做的事情，我创建了一系列对应于 2 个正弦波组合的点:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline

x = np.arange(0, 10, 0.01)
x2 = np.arange(0, 20, 0.02)
sin1 = np.sin(x)
sin2 = np.sin(x2)
x2 /= 2
sin3 = sin1 + sin2
plt.plot(x, sin3)
plt.show()

现在我想将这个波(或者更确切地说，这些点所暗示的波)分解回原来的 2 个正弦波:

# goal: sin3 -> sin1, sin2
# sin3 
array([ 0.00000000e+00,  2.99985000e-02,  ... 3.68998236e-01])
# sin1 
array([ 0.        ,  0.00999983,  0.01999867,  ... -0.53560333])
# sin2 
array([ 0.        ,  0.01999867,  0.03998933, ... 0.90460157])

我首先导入 numpy并获得 fft的 sin3 :

import numpy as np
fft3 = np.fft.fft(sin3)

好的，就我所知。现在我有一个包含复数的数组:

array([ 2.13316069e+02+0.00000000e+00j,  3.36520138e+02+4.05677438e+01j,...])

如果我天真地绘制它，我会看到:

plt.plot(fft3)
plt.show()

好吧，不知道该怎么办。

我想从这里获得看起来像 sin1 和 sin2 的数据集:

plt.plot(sin1)
plt.show()

plt.plot(sin2)
plt.show()

我理解 fft3 中复数的实部和虚部数据集，我只是不确定如何处理它们来导出 sin1和 sin2来自它的数据集。

我知道这与编程的关系不大，而与数学的关系更大，但是有人可以在这里给我一个提示吗？

编辑:更新马克·斯奈德的回答:

使用 Mark 的代码，我能够得到我所期望的结果，并最终使用了这种方法:

def decompose_fft(data: list, threshold: float = 0.0):
    fft3 = np.fft.fft(data)
    x = np.arange(0, 10, 10 / len(data))
    freqs = np.fft.fftfreq(len(x), .01)
    recomb = np.zeros((len(x),))
    for i in range(len(fft3)):
        if abs(fft3[i]) / len(x) > threshold:
            sinewave = (
                1 
                / len(x) 
                * (
                    fft3[i].real 
                    * np.cos(freqs[i] * 2 * np.pi * x) 
                    - fft3[i].imag 
                    * np.sin(freqs[i] * 2 * np.pi * x)))
            recomb += sinewave
            plt.plot(x, sinewave)
    plt.show()

    plt.plot(x, recomb, x, data)
    plt.show()

稍后我会让它返回重组的波浪列表，但现在我遇到了一个我不太明白的异常。首先我这样称呼它，简单地传入一个数据集。

decompose_fft(sin3, threshold=0.0)

但看起来不错，但我在 y=0.2 收到这条奇怪的线路有谁知道这可能是什么或导致它的原因是什么？



编辑:

马克在评论中已经回答了上述问题，谢谢!

Answer 1

离散傅立叶变换存在一些问题，在使用连续对应变换时不会立即明显。一方面，您输入的周期性应该与您的数据范围相匹配，因此如果您使用:

x = np.linspace(0, 4*np.pi, 200)

然后你可以按照你最初的想法:

sin1 = np.sin(x)
sin2 = np.sin(2*x)
sin3 = sin1 + sin2
fft3 = np.fft.fft(sin3)

由于在 FFT sin直接进入虚部，您可以尝试仅绘制虚部:

plt.plot(fft3.imag)
plt.show()

您应该看到以 x=2 为中心的峰值和 x=4对应于原始正弦分量，其频率为“每个信号 2 个”(从 0 到 4 pi 的 sin(x))和“每个信号 4 个”(从 0 到 4 pi 的 sin(2x))。

要绘制所有单个组件，您可以使用:

for i in range(1,100):
  plt.plot(x, fft3.imag[i] * np.sin(i*x)/100)
plt.show()