wolfram-mathematica - Mathematica 代码 : Derivative of Abs[x]

Question

闭门器注意事项 :这是关于编程语言(Mathematica)的问题，而不是关于学科/科学(数学)的问题。

为什么是

N[D[Sin[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> 0.707107
*)

但

N[D[Abs[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> Derivative[1][Abs][0.785398]
*)

?

强制数值结果的更好方法是什么？

Answer 1

Abs[z]不是 holomorphic function ，所以它的导数在复平面(Mathematica 使用的默认域)上没有很好地定义。这与例如 Sin[z] 形成对比。 ，其复导数(即，关于它的参数)总是被定义的。

更简单地说，Abs[z]取决于两者 z和 z* ，所以真的应该被认为是一个两个参数的函数。 Sin[z]仅取决于 z ，所以对单个参数有意义。

正如 Leonid 所指出的，一旦您将域限制为实数，那么导数就会得到很好的定义(除了在 x=0 处，它们已经取了左右导数的平均值)

In[1]:= FullSimplify[Abs'[x],x \[Element] Reals]
Out[1]= Sign[x]

正如 Szabolcs 所指出的(在评论中)， FunctionExpand将简化数字表达式，但“FunctionExpand 使用的某些转换只是一般有效”。
ComplexExpand也给出数字结果，但我不相信它。假设 Abs 似乎取导数在实域中，然后替换为数字/复数参数。也就是说，如果你知道你所做的一切都是真实的，那么 ComplexExpand是你的 friend 。