haskell - 更一般背景下的自然变换

Question

在创建更通用的 Monad 的过程中，我一直在通过 Haskell 中的一些类别理论来构建自己的方法。

在我进入下一步之前，我需要能够处理自然变换。

现在常规的自然变换 Functor s 很简单，它们只是函数

trans :: forall a . F a -> G a

(其中 F 和 G 是 Functor s)具有额外的限制

fmap f . trans = trans . fmap f

等价于交换图:



然而，当我转向更分类的仿函数时

class
  ( Category cat1
  , Category cat2
  )
    => Functor cat1 cat2 f
  where
    map :: cat1 a b -> cat2 (f a) (f b)

我不确定如何增加自然变换的定义以跟上。

该图暗示

trans :: forall a . cat2 (F a) (G a)

在哪里

Functor cat1  cat2 F
Functor cat1' cat2 G

然而，我不清楚 cat1 ~ cat1' 一定是这种情况。 .或者转换和两个仿函数的前范畴之间的关系是什么。

在更广泛的 Haskell 上下文中，自然转换是什么样子的 Functor超过更一般的类别？

Answer 1

However it is not clear to me that it must be the case that cat1 ~ cat1'.

仿函数 F 和 G 具有相同的域和余域，这是自然变换定义的一部分。 From nlab :

Given categories C and D, and functors F, G : C -> D

因此，Haskell 中定义的直接翻译是仿函数之间的自然转换 F, G与域 cat1和codomain cat2作为一个多态项，一个态射族 cat2 (F a) (G a)按对象索引 a :

n :: forall a. cat2 (F a) (G a)

使得某个图通勤所有 f :: cat1 a b ，即我们有以下等式，其中 (.)是在 cat2 中的组成:

fmap f . n = n . fmap f

哪里 n专攻类型 a在左侧，输入 b在右边。

请注意，这种编码的表达能力有限，因为 Haskell forall与英语“for all”不同。 n :: forall a. ...的行为不能真正依赖 a . forall暗示了一种在“自然变换”的定义中找不到的“均匀性”(又名参数化)形式。