precision - 数字系统中的浮点表示

Question

我不知道如何解决这个问题，我知道浮点数的显式、隐式和 IEEE-754 规范化表示，但如何将其分解为小问题。请帮我想象一下。

Answer 1

让我们假设 IEEE-754 单精度浮点数。在这样一个浮点数中，你有大约 7 位的精度——之后你就进入了浮点荒野。
我是什么意思？好吧，假设我有一个数字 = 7654321。我可以将其转换为 32 位浮点值，然后我可以取回确切的数字。当数字变得比这个大时，我开始失去精度 - 即数字从我的浮点数的末尾脱落并丢失。
考虑以下:

#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[])
  {
  float f1 = 7654321, f2 = 987654321;

  printf("f1 = %f   f2 = %f\n", f1, f2);
  }

当我运行这个时，我得到

f1 = 7654321.000000   f2 = 987654336.000000

希望你看到并说，“说什么？!？!”。发生了什么 f2 ?
正如我所说，32 位浮点数只有大约 7(十进制)位的精度。如果您尝试将超过 7 位精度的数字放入 32 点浮点变量中，则会失去精度 - 低位数字会丢失。
因此，让我们考虑问题中的值:

A =  2.0 * 10^30
B = -2.0 * 10^30
C = 1.0

你应该弄清楚你在执行计算时得到了什么

X = A + B
X = X + C

和

Y = A + C
Y = Y + B

好吧，让我们从第一个开始。代入我们得到的值

X = A + B = (2.0 * 10^30) + (-2.0 * 10^30)

运气好的话 X 现在将为零。然后我们有

X = X + C

所以，代入我们得到的值

X = 0.0 + 1.0

所以 X 应该以 1.0 结束。
好吧，那很有趣。现在让我们看一下 Y 计算，它们与 X 计算实际上相同，只是重新排列了一下:

Y = 2.0 * 10^30 + 1.0

这应该给我们结果 2.0 * 10^30 .嗯？为什么？!？那么， 2*10^30超过了浮点数的可能精度(只能保留 7 位精度)，因为它表示 30 位数字，因此加上值 1.0到 2*10^30 不改变它 .所以此时 Y = 2.0 * 10^30 .然后我们添加 B = -2.0 * 10^30到它，我们得到 - 是的，零。
所以你最终得到 X = 1.0, Y = 0.0，即使你在头脑中执行这些计算而不考虑计算机中浮点数的精度限制，你会得到它们两个的值 1.0。
这里的预期教训是，当您处理浮点值时，运算顺序非常重要，您必须仔细考虑正在处理的值的大小来计划计算，以免结束加上数字糊状物。
顺便说一句，这里有一个小程序来实现你的任务:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(int argc, char *argv[])
  {
  float A = 2.0 * pow(10, 30), B = -2.0 * pow(10, 30), C = 1.0;
  float X, Y;
  
  X = A + B;
  X = X + C;
  
  Y = A + C;
  Y = Y + B;
  
  printf("X = %f   Y = %f\n", X, Y);
  }

运行它并打印

  X = 1.000000   Y = 0.000000

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