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我需要一种方法来计算以下循环的 Big-theta 边界,但我不确定能否找到一种模式:
public static in sumCalc(int n) {
int k=3;
int sum =0;
while (n>0) {
for (int i=2; i<k; i=i*i)
sum = sum+i
n--
k=k*3
}
return sum;
}
我可以看到外循环将执行 n 次,但很难找到内循环将执行多少次。我试图通过追踪它来找到一种模式,并想出了这样的事情:
n value k value #of times inner loop executes
--------------------------------------------------------
n k=3 1
n-1 k=3^2 2
n-2 3^3 3
n-3 3^4 3
n-4 3^5 3
n-5 3^6 4
...
n-9 3^10 4
n-10 3^11 5
...
我不确定这里是否存在模式。我无法编写求和公式来计算此表中内循环的总执行情况。直觉上,我认为外循环将执行 O(log n) 次,而内循环将执行 O(sqrt(n))。所以答案可以是 O(sqrt(n)*log n) ?
最佳答案
这很有趣!要解决这个问题,我们需要一些数学工具,但最重要的是我们需要这条格言:
When in doubt, work inside-out!
也就是说,让我们采用最内层的循环,计算出它做了多少工作,然后重复删除它并用一个占位符替换它,指示完成了多少工作。
我们最里面的循环看起来像这样:
for (int i=2; i<k; i=i*i)
sum = sum+i
这个循环内部的复杂度为 O(1),所以我们需要做的就是计算出迭代次数。这归结为这个问题:在超过某个数 k 之前,您可以对一个数进行多少次平方(从 2 开始)?
为了找出答案,让我们假设我们正处于循环的第 j 次迭代。此时 i 的值是多少?嗯,
注意到一个模式了吗?每次我们对 i 进行平方时,我们都会将 2 的幂指数加倍。这意味着指数本身呈指数级增长,如果您像这样写出数字,就更容易看出这一点:
更一般地,在循环的第 j 次迭代中,i 的值为 22j。并且循环将一直运行直到 j 的相应值结束超过 k。解决,我们得到这个:
22j = k
2j = lg k
j = lg lg k
换句话说,这个循环将运行 Θ(log log k) 次。这是一个难以置信的小次数,你需要 k 非常大才能让它运行任何合理数量的迭代。作为引用,lg lg A,其中 A 是已知宇宙中的粒子数,约为 8。
请注意,在这里看到日志日志并不意外。如果您反复将 1 加到一个数量上,则需要 O(k) 次迭代才能超出数字 k。如果你反复加倍一个数字直到超过数字 k,那么你将需要 O(log k) 次迭代才能完成。如果您重复对一个数 k 求平方,则需要 O(log log k) 次迭代。
因此,如果我们跳回原始代码,我们可以像这样删除并重写该内部循环:
int k=3;
while (n>0) {
do Theta(log log k) work;
n--;
k=k*3;
}
那现在呢?好吧,我们知道这个外层循环会运行 n 次。但是完成的总工作量是多少?我们可以看到这里取的 k 值呈指数增长:第一次迭代时 k 为 3,第二次迭代时为 9,第三次迭代时为 27,等等。更一般地,它的值为 3j 在第 j 次迭代中。这意味着我们可以通过将 k 取的所有值相加 log log k 来总结这个 while 循环所做的工作。这给出了以下内容:
log log 3 + log log 32 + log log 33 + ... + log log 3n
= log log 3 + log (2 log 3) + log (3 log 3) + ... + log (n log 3) (power rule for logarithms)
= log((log 3) · (2 log 3) · (3 log 3) · ... · (n log 3)) (sum rule for logarithms)
= log ((1 · 2 · 3 · ... · n)(log 3 · log 3 · log 3 ... · 3)) (regrouping terms)
= log (n! · (log 3)n (simplifying)
= log (n!) + n log log 3 (sum and power rules)
= Θ(n log n) + n log log 3 (Stirling’s approximation)
= Θ(n log n).
所以总的功是 Θ(n log n)。
现在,这里要注意的一个细节是,这假设 k 和 i 的值永远不会溢出,这通常不是一个安全的假设。实际上,对于任何合理的 n 值,此函数都会开始表现得很奇怪。但为了简单起见,我们暂时忽略它。 :-)
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