math - 如何计算两个 3d 圆上的一对最近点？

Question

我在 3d 空间中有两个 2d 圆(由中心、法线和半径定义)，我试图提出一对点，它是一组最接近的点对之一。我知道有从 1 到无限数量的点对，我只需要一个匹配对。

有没有一种简单的方法可以做到这一点？精度不是必需的。两个圆的半径相同，非零值。

如果背景有帮助，我的整体算法采用空间中的 NURBS 曲线并沿曲线挤出 2d 多边形，产生变形的圆柱体。我只是沿曲线采样几个点。每个圆的法线是 NURBS 曲线的切线，我试图弄清楚如何对齐相邻的样本，所以我不会得到奇怪的扭曲。似乎应该对齐相邻样本上最近的点。

感谢这里的所有回复......项目的这一部分有点延迟，这就是为什么我还没有测试所有答案。当我再次开始处理这个问题时，我一定会在这里扔一些图片并标记一个答案。

Answer 1

您真正要计算的是一对点，该点对最小化位于 3 维 2 个不同圆上的点之间的距离。您应该采用的方法来找到精确解(就像在几乎所有优化问题中一样)是将距离表示为所有可能点的函数，并取其相对于自变量的导数并将结果表达式设置为 0 . 由于您有 2 个圆，因此您将有 2 个自变量(即一个圆上的一个点和另一个圆上的一个点的角度)。一旦你解决了最小化方程，你也会在圆上找到满足你的约束的点。 (基本上，您会在圆圈上找到您要查找的点对的角度。)

我找到了一个 paper在线(在 this site 上)严格执行计算，但最终结果是求解 8 阶多项式方程。您可能会尝试简化方程式并提出满足您需求的不太精确的解决方案。

还有一个paper声称有一个更快的算法来找到 3d 中两个圆之间的距离；但是，我无法查看内容，因此无法判断它是否也提供了满足该条件的点对。

更新:重新阅读您的问题后，我看到即使您要求一种在 3 维的两个圆上找到最接近的一对点的方法，我认为，您应该更加注意您所使用的 NURBS 曲线的属性试图沿挤出 2D 多边形。您提到曲线上给定点的圆的方向由该点的切向量指定。然而，3D 曲线不仅仅是切线向量；有正常 (或 曲率 )向量指向曲线在给定点的曲率中心，然后是 扭力向量基本上指定了曲线从切线和法线向量给定的平面的“提升”量。所有这些都定义了一个(所谓的)Frenet 框架。您可以在 Wikipedia article 上阅读更多关于这些内容的信息。 .

我的怀疑是，您可以通过连接每个位于底层 3D 曲线的法向量方向的连续圆的点来实现您想要的效果。这样，只有当曲线实际扭曲时才会扭曲，即当扭转矢量非零且法线矢量也在改变方向时。在其他情况下，这应该可以满足您的实际需要。

您可能不需要在连续的圆上寻找最近​​点的矫枉过正。