haskell - 双仿函数与箭头方法

Question

Bifunctor 之间有一点重叠和 Arrow方法:

class Bifunctor p where
  first :: (a -> a') -> p a b -> p a' b
  second :: (b -> b') -> p a b -> p a b'
  bimap :: (a -> a') -> (b -> b') -> p a b -> p a' b'

class Arrow (~~>) where
  ...
  first :: (a ~~> a') -> (a, b) ~~> (a', b)
  second :: (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a, b')
  (***) :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a', b')

Bifunctor类带有与 Functor 完全相似的法律。 .
Arrow类附带许多法律不同的法律和关于 (***) 的有点神秘的警告。 :“请注意，这通常不是仿函数。”令人惊讶的是(对我而言)只有一条关于 (***) 的法律。 :

first f >>> arr (id *** g) = arr (id *** g) >>> first f

Arrow (->)实例和 Bifunctor (,)实例完全匹配，因此 bimap @(,) = (***) @(->) .这有什么特别的意义吗？有没有有意义的假设

class Foo (~~>) p where
  biFoo :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> p a b ~~> p a' b'

如果是这样，那是否承认功能依赖？

Answer 1

Arrow是 cartesian closed categories 类的(有点 SCSS )前体, 或至少 cartesian monoidal categories .具体来说，对于张量积为 (,) 的幺半群类别和单位元素() .

回想一下 monoidal category以张量积为双仿函数的特征，因此 Arrow 之间存在联系和 Bifunctor .
***实际上有比您列出的更多的法律，只是图书馆选择根据 first 制定这些法律反而。这是该类的等效定义:

class (Category k, Category k') => EnhancedCategory k k' where
  arr :: k a b -> k' a b
  -- arr id ≡ id
  -- arr (f . g) = arr f . arr g
class (EnhancedCategory (->) a) => Arrow a where
  (***) :: a b c -> a b' c' -> a (b,b') (c,c')
  -- (f***id) . (g***id) ≡ (f.g)***id
  -- (id***f) . (id***g) ≡ id***(f.g)
  -- arr fst . (f***id) ≡ f . arr fst
  -- arr snd . (id***g) ≡ g . arr snd
  -- ¿ arr swap . (f***g) ≡ (g***f) . arr swap ?
  -- ((f***g)***h) . assoc ≡ assoc . (f***(g***h))
  diag :: a b (b,b)

first :: Arrow a => a b c -> a (b,d) (c,d)
first f = f***id
second :: Arrow a => a b c -> a (d,b) (d,c)
second g = id***g
(&&&) :: Arrow a => a b c -> a b d -> a b (c,d)
f&&&g = (f***g) . diag

顺便说一句，也可以删除 arr用于提升纯函数，而只为父类(super class)提供专用方法 fst , snd和 assoc . I call that class Cartesian .这允许定义不包含任意 Haskell 函数的“箭头”类别； linear maps是一个重要的例子。