r - 如何快速求解最小二乘法(欠定系统)？

Question

我在 R 中有一个程序，它正在计算大量的最小二乘解(> 10,000:通常为 100,000+)，并且在分析之后，这些是程序当前的瓶颈。我有一个矩阵 A具有对应于生成向量的列向量和解决方案 b .我正在尝试求解最小二乘解 x的 Ax=b .矩阵的大小通常为 4xj - 其中许多不是正方形(j < 4)，因此我正在寻找针对欠定系统的通用解决方案。

主要问题:在 R 中解决欠定系统的最快方法是什么？我有许多利用 Normal Equation 的解决方案但我正在 R 中寻找比以下任何方法都快的例程。

例如:
解决系统为x由 Ax = b 提供鉴于以下限制:

系统没有必要确定[通常欠确定](ncol (A) <= length(b) 总是成立)。因此solve(A,b)不起作用，因为 solve 需要一个方阵。

您可以假设 t(A) %*% A (等价于 crossprod(A) )是非奇异的——它在程序

的前面被检查过

您可以使用 R 中免费提供的任何包

解决方案不需要很漂亮 - 它只需要快速

A 的大小上限是合理的 10x10，零元素很少出现 - A通常非常密集

用于测试的两个随机矩阵...

A = matrix(runif(12), nrow = 4)
b = matrix(runif(4), nrow = 4)

下面的所有功能都已经过分析。它们被复制在这里:

f1 = function(A,b)
{
  solve(t(A) %*% A, t(A) %*% b)
}
f2 = function(A,b)
{
  solve(crossprod(A), crossprod(A, b))
}
f3 = function(A,b)
{
  ginv(crossprod(A)) %*% crossprod(A,b) # From the `MASS` package
}
f4 = function(A,b)
{
  matrix.inverse(crossprod(A)) %*% crossprod(A,b) # From the `matrixcalc` package
}
f5 = function(A,b)
{
  qr.solve(crossprod(A), crossprod(A,b))
}
f6 = function(A,b)
{
  svd.inverse(crossprod(A)) %*% crossprod(A,b)
}
f7 = function(A,b)
{
  qr.solve(A,b)
}
f8 = function(A,b)
{
  Solve(A,b) # From the `limSolve` package
}

经测试， f2是当前的赢家。我还测试了线性模型方法——考虑到它们产生的所有其他信息，它们的速度非常慢。使用以下内容对代码进行了分析:

library(ggplot2)
library(microbenchmark)

all.equal(
  f1(A,b),
  f2(A,b),
  f3(A,b),
  f4(A,b),
  f5(A,b),
  f6(A,b),
  f7(A,b),
  f8(A,b),
          )

compare = microbenchmark(
  f1(A,b),
  f2(A,b),
  f3(A,b),
  f4(A,b),
  f5(A,b),
  f6(A,b),
  f7(A,b),
  f8(A,b),
  times = 1000)

autoplot(compare)

Answer 1

怎么样Rcpp ?

library(Rcpp)
cppFunction(depends='RcppArmadillo', code='
            arma::mat fRcpp (arma::mat A, arma::mat b) {
            arma::mat betahat ;
            betahat = (A.t() * A ).i() * A.t() * b ;
            return(betahat) ;
            }                                
            ')

all.equal(f1(A, b), f2(A, b), fRcpp(A, b))
#[1] TRUE
microbenchmark(f1(A, b), f2(A, b), fRcpp(A, b))
#Unit: microseconds
#        expr    min     lq     mean  median      uq     max neval
#    f1(A, b) 55.110 57.136 67.42110 59.5680 63.0120 160.873   100
#    f2(A, b) 34.444 37.685 43.86145 39.7120 41.9405 117.920   100
# fRcpp(A, b)  3.242  4.457  7.67109  8.1045  8.9150  39.307   100