graphics - 计算变换球体的 AABB

Question

我有一个在对象空间中由中心点和半径表示的球体。球体通过变换矩阵变换到世界空间，变换矩阵可能包括缩放、旋转和平移。我需要为世界空间中的球体构建一个轴对齐的边界框，但我不知道该怎么做。

这是我目前的方法，适用于某些情况:

public void computeBoundingBox() {
    // center is the middle of the sphere
    // averagePosition is the middle of the AABB
    // getObjToWorldTransform() is a matrix from obj to world space
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(center, averagePosition);

    Point3 onSphere = new Point3(center);
    onSphere.scaleAdd(radius, new Vector3(1, 1, 1));
    getObjToWorldTransform().rightMultiply(onSphere);

    // but how do you know that the transformed radius is uniform?
    double transformedRadius = onSphere.distance(averagePosition);

    // maxBound is the upper limit of the AABB
    maxBound.set(averagePosition);
    maxBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(1, 1, 1));

    // minBound is the lower limit of the AABB
    minBound.set(averagePosition);
    minBound.scaleAdd(transformedRadius, new Vector3(-1,-1,-1));
}

但是，我怀疑这是否总是有效。它不应该因非均匀缩放而失败吗？

Answer 1

通常，变换后的球体将是某种椭球体。为它获得一个精确的边界框并不难；如果你不想通过所有的数学:

请注意 M是您的变换矩阵(缩放、旋转、平移等)

阅读 S 的定义下面

计算 R如最后所描述的

计算 x , y , 和 z基于 R 的边界如最后所述。

一般的圆锥曲线(包括球体及其变换)可以表示为对称的 4x4 矩阵:齐次点 p在圆锥内 S当 p^t S p < 0 .用矩阵 M 变换你的空间会变换 S 矩阵如下(下面的约定是点是列向量):

A unit-radius sphere about the origin is represented by:
S = [ 1  0  0  0 ]
    [ 0  1  0  0 ]
    [ 0  0  1  0 ]
    [ 0  0  0 -1 ]

point p is on the conic surface when:
0 = p^t S p
  = p^t M^t M^t^-1 S M^-1 M p
  = (M p)^t (M^-1^t S M^-1) (M p)

transformed point (M p) should preserve incidence
-> conic S transformed by matrix M is:  (M^-1^t S M^-1)

圆锥曲线的对偶适用于平面而不是点，由 S 的倒数表示；对于平面 q(表示为行向量):

plane q is tangent to the conic when:
0 = q S^-1 q^t
  = q M^-1 M S^-1 M^t M^t^-1 q^t
  = (q M^-1) (M S^-1 M^t) (q M^-1)^t

transformed plane (q M^-1) should preserve incidence
-> dual conic transformed by matrix M is:  (M S^-1 M^t)

因此，您正在寻找与变换的圆锥曲线相切的轴对齐平面:

let (M S^-1 M^t) = R = [ r11 r12 r13 r14 ]  (note that R is symmetric: R=R^t)
                       [ r12 r22 r23 r24 ]
                       [ r13 r23 r33 r34 ]
                       [ r14 r24 r34 r44 ]

axis-aligned planes are:
  xy planes:  [ 0 0 1 -z ]
  xz planes:  [ 0 1 0 -y ]
  yz planes:  [ 1 0 0 -x ]

要找到与 R 相切的 xy 对齐平面:

  [0 0 1 -z] R [ 0 ] = r33 - 2 r34 z + r44 z^2 = 0
               [ 0 ]
               [ 1 ]
               [-z ]

  so, z = ( 2 r34 +/- sqrt(4 r34^2 - 4 r44 r33) ) / ( 2 r44 )
        = (r34 +/- sqrt(r34^2 - r44 r33) ) / r44

类似地，对于 xz 对齐的平面:

      y = (r24 +/- sqrt(r24^2 - r44 r22) ) / r44

和 yz 对齐的平面:

      x = (r14 +/- sqrt(r14^2 - r44 r11) ) / r44

这为您提供了变换球体的精确边界框。