pattern-matching - 模式匹配情况下的统一

Question

我试图编写一个类型为forall n, option (n = 1) 的函数。

我选择 option 作为 reflect 的替代方案，避免给出否定案例的证明。所以 Some 扮演角色 ReflectT 并持有证明，而 None 不持有否定证明。

Definition is_1 n: bool:=
  match n with
    1 => true |
    _ => false
  end.

Lemma is_1_complete : forall n, is_1 n = true -> n = 1.
intros.
destruct n. simpl in H. discriminate.
destruct n. reflexivity.
simpl in H. discriminate.
Qed.

Lemma a_nat_is_1_or_not: forall n, option (n = 1).
intros.
cut (is_1 n = true -> n = 1).
- 
intros.
destruct n. exact None.
destruct n. simpl in H. exact (Some (H (eq_refl))).
exact None.
-
exact (is_1_complete n).
Qed.

我已经完成了战术。 a_nat_is_1_or_not 就是证明。而且我认为我可以直接编写定义来做到这一点，所以我尝试了。

Definition a_nat_is_1_or_not' n: option (n = 1) :=
  match is_1 n with
     true => Some (is_1_complete n eq_refl)
     | false => None
  end.

但是 Coq 说

Error:
In environment
n : nat
The term "eq_refl" has type "is_1 n = is_1 n"
while it is expected to have type "is_1 n = true" (cannot unify "is_1 n" and
"true").

在自身模式匹配的true情况下，is_1 n似乎无法统一为true

所以我尝试了一个更简单的例子。

Definition every_true_is_I x: x = I :=
  match x with
     I => eq_refl
  end.

有效。

a_nat_is_1_or_not' 和 every_truer_is_I 有什么区别？我错过了什么吗？我能做些什么来编写 forall n, is_1 n = true -> n = 1. 的有效定义？

Answer 1

区别在于，在 a_nat_is_1_or_not' 中，您依赖于类型为 is_1 n = true -> _ 的外部项。如果您希望 a_nat_is_1_or_not' 看起来像 every_true_is_I，您必须确保所有出现的 is_1 n 都包含在模式匹配中:

Definition a_nat_is_1_or_not' n: option (n = 1) :=
  match is_1 n as b return ((b = true -> _) -> _) with
  | true => fun H => Some (H eq_refl)
  | false => fun _ => None
  end (is_1_complete n).

注意 is_1_complete 是如何在模式匹配之外实例化的，以便处理它出现的 is_1 n(重命名为 b)。

还有另一种方法可以做到这一点，也许更符合习惯。无需概括整个上下文，您只需保留足够的信息来填补所有漏洞:

Definition a_nat_is_1_or_not' n: option (n = 1) :=
  match is_1 n as b return (is_1 n = b -> _) with
  | true => fun H => Some (is_1_complete n H)
  | false => fun _ => None
  end eq_refl.

但是思路是一样的。通过在模式匹配之外实例化 eq_refl，您在匹配 is_1 n 时不会丢失任何信息。