haskell - 如何使变态与参数化/索引类型一起工作？

Question

我最近学到了一些关于 F 代数的知识:
https://www.fpcomplete.com/user/bartosz/understanding-algebras .
我想将此功能提升到更高级的类型(索引和更高级别)。
此外，我查看了“Giving Haskell a Promotion”(http://research.microsoft.com/en-us/people/dimitris/fc-kind-poly.pdf)，这很有帮助，因为它为我自己模糊的“发明”命名。

但是，我似乎无法创建适用于所有形状的统一方法。

代数需要一些“载体类型”，但我们正在遍历的结构需要某种形状(本身，递归应用)，所以我想出了一个可以携带任何类型的“虚拟”容器，但形状符合预期。然后我使用一个类型族来耦合这些。

这种方法似乎有效，为我的“cata”函数带来了一个相当通用的签名。

但是，我使用的其他东西(Mu，Algebra)仍然需要为每个形状提供单独的版本，只是为了传递一堆类型变量。我希望像 PolyKinds 这样的东西可以提供帮助(我成功地使用它来塑造虚拟类型)，但它似乎只是为了反过来工作。

由于 IFunctor1 和 IFunctor2 没有额外的变量，我试图通过附加(通过类型族)索引保留函数类型来统一它们，但由于存在量化，这似乎是不允许的，所以我在那里留下了多个版本也。

有没有办法统一这两种情况？我是否忽略了一些技巧，或者这只是目前的限制？
还有其他可以简化的事情吗？

{-# LANGUAGE DataKinds                 #-}
{-# LANGUAGE ExistentialQuantification #-}
{-# LANGUAGE GADTs                     #-}
{-# LANGUAGE PolyKinds                 #-}
{-# LANGUAGE Rank2Types                #-}
{-# LANGUAGE StandaloneDeriving        #-}
{-# LANGUAGE TypeFamilies              #-}
{-# LANGUAGE TypeOperators             #-}
{-# LANGUAGE UndecidableInstances      #-}
module Cata where

-- 'Fix' for indexed types (1 index)
newtype Mu1 f a = Roll1 { unRoll1 :: f (Mu1 f) a }
deriving instance Show (f (Mu1 f) a) => Show (Mu1 f a)

-- 'Fix' for indexed types (2 index)
newtype Mu2 f a b = Roll2 { unRoll2 :: f (Mu2 f) a b }
deriving instance Show (f (Mu2 f) a b) => Show (Mu2 f a b)

-- index-preserving function (1 index)
type s :-> t = forall i. s i -> t i

-- index-preserving function (2 index)
type s :--> t = forall i j. s i j -> t i j

-- indexed functor (1 index)
class IFunctor1 f where
  imap1 :: (s :-> t) -> (f s :-> f t)

-- indexed functor (2 index)
class IFunctor2 f where
  imap2 :: (s :--> t) -> (f s :--> f t)

-- dummy container type to store a solid result type
-- the shape should follow an indexed type
type family Dummy (x :: i -> k) :: * -> k

type Algebra1 f a = forall t. f ((Dummy f) a) t -> (Dummy f) a t
type Algebra2 f a = forall s t. f ((Dummy f) a) s t -> (Dummy f) a s t

cata1 :: IFunctor1 f => Algebra1 f a -> Mu1 f t -> (Dummy f) a t
cata1 alg = alg . imap1 (cata1 alg) . unRoll1

cata2 :: IFunctor2 f => Algebra2 f a -> Mu2 f s t -> (Dummy f) a s t
cata2 alg = alg . imap2 (cata2 alg) . unRoll2

以及 2 个可使用的示例结构:

ExprF1 似乎是一个正常有用的东西，将嵌入式类型附加到对象语言。

ExprF2 是人为设计的(恰好也被提升的额外参数(DataKinds))，只是为了找出“通用” cata2 是否能够处理这些形状。

-- our indexed type, which we want to use in an F-algebra (1 index)
data ExprF1 f t where
     ConstI1 :: Int -> ExprF1 f Int
     ConstB1 :: Bool -> ExprF1 f Bool
     Add1    :: f Int  -> f Int -> ExprF1 f Int
     Mul1    :: f Int  -> f Int -> ExprF1 f Int
     If1     :: f Bool -> f t -> f t -> ExprF1 f t
deriving instance (Show (f t), Show (f Bool)) => Show (ExprF1 f t)

-- our indexed type, which we want to use in an F-algebra (2 index)
data ExprF2 f s t where
     ConstI2 :: Int -> ExprF2 f Int True
     ConstB2 :: Bool -> ExprF2 f Bool True
     Add2    :: f Int True -> f Int True -> ExprF2 f Int True
     Mul2    :: f Int True -> f Int True -> ExprF2 f Int True
     If2     :: f Bool True -> f t True -> f t True -> ExprF2 f t True
deriving instance (Show (f s t), Show (f Bool t)) => Show (ExprF2 f s t)

-- mapper for f-algebra (1 index)
instance IFunctor1 ExprF1 where
  imap1 _    (ConstI1 x)  = ConstI1 x
  imap1 _    (ConstB1 x)  = ConstB1 x
  imap1 eval (x `Add1` y) = eval x `Add1` eval y
  imap1 eval (x `Mul1` y) = eval x `Mul1` eval y
  imap1 eval (If1 p t e)  = If1 (eval p) (eval t) (eval e)

-- mapper for f-algebra (2 index)
instance IFunctor2 ExprF2 where
  imap2 _    (ConstI2 x)  = ConstI2 x
  imap2 _    (ConstB2 x)  = ConstB2 x
  imap2 eval (x `Add2` y) = eval x `Add2` eval y
  imap2 eval (x `Mul2` y) = eval x `Mul2` eval y
  imap2 eval (If2 p t e)  = If2 (eval p) (eval t) (eval e)

-- turned into a nested expression
type Expr1 = Mu1 ExprF1

-- turned into a nested expression
type Expr2 = Mu2 ExprF2

-- dummy containers
newtype X1 x y = X1 x deriving Show
newtype X2 x y z = X2 x deriving Show

type instance Dummy ExprF1 = X1
type instance Dummy ExprF2 = X2


-- a simple example agebra that evaluates the expression
-- turning bools into 0/1    
alg1 :: Algebra1 ExprF1 Int
alg1 (ConstI1 x)            = X1 x
alg1 (ConstB1 False)        = X1 0
alg1 (ConstB1 True)         = X1 1
alg1 ((X1 x) `Add1` (X1 y)) = X1 $ x + y
alg1 ((X1 x) `Mul1` (X1 y)) = X1 $ x * y
alg1 (If1 (X1 0) _ (X1 e))  = X1 e
alg1 (If1 _ (X1 t) _)       = X1 t

alg2 :: Algebra2 ExprF2 Int
alg2 (ConstI2 x)            = X2 x
alg2 (ConstB2 False)        = X2 0
alg2 (ConstB2 True)         = X2 1
alg2 ((X2 x) `Add2` (X2 y)) = X2 $ x + y
alg2 ((X2 x) `Mul2` (X2 y)) = X2 $ x * y
alg2 (If2 (X2 0) _ (X2 e))  = X2 e
alg2 (If2 _ (X2 t) _)       = X2 t


-- simple helpers for construction
ci1 :: Int -> Expr1 Int
ci1 = Roll1 . ConstI1

cb1 :: Bool -> Expr1 Bool
cb1 = Roll1 . ConstB1

if1 :: Expr1 Bool -> Expr1 a -> Expr1 a -> Expr1 a
if1 p t e = Roll1 $ If1 p t e

add1 :: Expr1 Int -> Expr1 Int -> Expr1 Int
add1 x y = Roll1 $ Add1 x y

mul1 :: Expr1 Int -> Expr1 Int -> Expr1 Int
mul1 x y = Roll1 $ Mul1 x y

ci2 :: Int -> Expr2 Int True
ci2 = Roll2 . ConstI2

cb2 :: Bool -> Expr2 Bool True
cb2 = Roll2 . ConstB2

if2 :: Expr2 Bool True -> Expr2 a True-> Expr2 a True -> Expr2 a True
if2 p t e = Roll2 $ If2 p t e

add2 :: Expr2 Int True -> Expr2 Int True -> Expr2 Int True
add2 x y = Roll2 $ Add2 x y

mul2 :: Expr2 Int True -> Expr2 Int True -> Expr2 Int True
mul2 x y = Roll2 $ Mul2 x y


-- test case
test1 :: Expr1 Int
test1 = if1 (cb1 True)
            (ci1 3 `mul1` ci1 4 `add1` ci1 5)
            (ci1 2)

test2 :: Expr2 Int True
test2 = if2 (cb2 True)
            (ci2 3 `mul2` ci2 4 `add2` ci2 5)
            (ci2 2)


main :: IO ()
main = let (X1 x1) = cata1 alg1 test1
           (X2 x2) = cata2 alg2 test2
       in do print x1
             print x2

输出:

17
17

Answer 1

我写了一篇关于这个主题的演讲，名为 "Slicing It" 2009 年。它肯定指向我的 Strathclyde 同事 Johann 和 Ghani 在 GADT 的初始代数语义方面的工作。我使用了 SHE 的符号。提供了编写数据索引类型，但令人高兴的是，这已被“促销”故事所取代。

根据我的评论，这次谈话的重点是系统地使用一个索引，但要利用它的种类可以变化的事实。

事实上，我们有(使用我目前首选的“Goscinny 和 Uderzo”名称)

type s :-> t = forall i. s i -> t i

class FunctorIx f where
  mapIx :: (s :-> t) -> (f s :-> f t)

现在您可以显示 FunctorIx在定点下闭合。关键是将两个索引集组合成一个提供索引选择的集。

data Case (f :: i -> *) (g :: j -> *) (b :: Either i j) :: * where
  L :: f i -> Case f g (Left i)
  R :: g j -> Case f g (Right j)

(<?>) :: (f :-> f') -> (g :-> g') -> Case f g :-> Case f' g'
(f <?> g) (L x) = L (f x)
(f <?> g) (R x) = R (g x)

现在我们可以获取“包含元素”代表“有效负载”或“递归子结构”的仿函数的固定点。

data MuIx (f :: (Either i j -> *) -> j -> *) :: (i -> *) -> j -> * where
  InIx :: f (Case x (MuIx f x)) j -> MuIx f x j

结果，我们可以 mapIx在“有效载荷”...

instance FunctorIx f => FunctorIx (MuIx f) where
  mapIx f (InIx xs) = InIx (mapIx (f <?> mapIx f) xs)

...或者在“递归子结构”上写一个变态...

foldIx :: FunctorIx f => (f (Case x t) :-> t) -> MuIx f x :-> t
foldIx f (InIx xs) = f (mapIx (id <?> foldIx f) xs)

...或两者兼而有之。

mapFoldIx :: FunctorIx f => (x :-> y) -> (f (Case y t) :-> t) -> MuIx f x :-> t
mapFoldIx e f (InIx xs) = f (mapIx (e <?> mapFoldIx e f) xs)

FunctorIx的喜悦|是它具有如此出色的闭合特性，这要归功于它能够改变索引类型。 MuIx允许有效载荷的概念，并且可以迭代。因此，有动力使用结构化指数而不是多个指数。