neural-network - 如何独立于任何损失函数实现 Softmax 导数？

Question

对于神经网络库，我实现了一些激活函数和损失函数及其衍生物。它们可以任意组合，输出层的导数只是损失导数和激活导数的乘积。

但是，我未能独立于任何损失函数实现 Softmax 激活函数的导数。由于归一化，即方程中的分母，改变单个输入激活会改变所有输出激活，而不仅仅是一个。

这是我的 Softmax 实现，其中导数未通过梯度检查约 1%。如何实现 Softmax 导数，以便它可以与任何损失函数结合使用？

import numpy as np


class Softmax:

    def compute(self, incoming):
        exps = np.exp(incoming)
        return exps / exps.sum()

    def delta(self, incoming, outgoing):
        exps = np.exp(incoming)
        others = exps.sum() - exps
        return 1 / (2 + exps / others + others / exps)


activation = Softmax()
cost = SquaredError()

outgoing = activation.compute(incoming)
delta_output_layer = activation.delta(incoming) * cost.delta(outgoing)

Answer 1

在数学上，Softmax σ(j) 相对于 logit Zi(例如，Wi*X)的导数为



其中红色三角洲是克罗内克三角洲。

如果您迭代实现:

def softmax_grad(s):
    # input s is softmax value of the original input x. Its shape is (1,n) 
    # i.e.  s = np.array([0.3,0.7]),  x = np.array([0,1])

    # make the matrix whose size is n^2.
    jacobian_m = np.diag(s)

    for i in range(len(jacobian_m)):
        for j in range(len(jacobian_m)):
            if i == j:
                jacobian_m[i][j] = s[i] * (1 - s[i])
            else: 
                jacobian_m[i][j] = -s[i] * s[j]
    return jacobian_m

测试:

In [95]: x
Out[95]: array([1, 2])

In [96]: softmax(x)
Out[96]: array([ 0.26894142,  0.73105858])

In [97]: softmax_grad(softmax(x))
Out[97]: 
array([[ 0.19661193, -0.19661193],
       [-0.19661193,  0.19661193]])

如果您在矢量化版本中实现:

soft_max = softmax(x)    

# reshape softmax to 2d so np.dot gives matrix multiplication

def softmax_grad(softmax):
    s = softmax.reshape(-1,1)
    return np.diagflat(s) - np.dot(s, s.T)

softmax_grad(soft_max)

#array([[ 0.19661193, -0.19661193],
#       [-0.19661193,  0.19661193]])