math - 没有引用平面的两个向量之间的有符号角

Question

(在三个维度中)我正在寻找一种方法来计算两个向量之间的带符号角，除了这些向量之外没有其他信息。如 this question 中的回答，给定向量垂直于平面的法线，计算带符号角很简单。但是如果没有那个值(value)，我就找不到办法做到这一点。很明显，两个向量的叉积会产生这样的法线，但我使用上面的答案遇到了以下矛盾:

signed_angle(x_dir, y_dir) == 90
signed_angle(y_dir, x_dir) == 90

我希望第二个结果是否定的。这是因为叉积 cross(x_dir, y_dir)与 cross(y_dir, x_dir) 方向相反，给定以下带有标准化输入的伪代码:

signed_angle(Va, Vb)
    magnitude = acos(dot(Va, Vb))
    axis = cross(Va, Vb)
    dir = dot(Vb, cross(axis, Va))
    if dir < 0 then
        magnitude = -magnitude
    endif
    return magnitude

我不相信 dir 上面永远不会是负数。

我在建议的 atan2 解决方案中看到了同样的问题。

我正在寻找一种方法来制作:

signed_angle(a, b) == -signed_angle(b, a)

Answer 1

相关数学公式:

  dot_product(a,b) == length(a) * length(b) * cos(angle)
  length(cross_product(a,b)) == length(a) * length(b) * sin(angle)

对于 3-D 向量之间的稳健角度，您的实际计算应该是:

  s = length(cross_product(a,b))
  c = dot_product(a,b)
  angle = atan2(s, c)

如果您使用 acos(c)单独来说，当角度很小的时候，你会遇到严重的精度问题。计算 s并使用 atan2()为您提供所有可能情况下的稳健结果。

自 s总是非负的，产生的角度范围从 0 到 pi。总会有一个等效的负角 (angle - 2*pi) ，但没有几何原因更喜欢它。