数学:使用带时间限制的 Hermite 曲线缓入、缓出置换

Question

我正在尝试编写一种方法，随着时间的推移使用开始时的加速和结束时的减速(缓出/缓入)从 0 到 x(一维对象的位置)进行插值，唯一的约束是 提供总时间 ，以及 加减速持续时间 .运动应该复制惯性效应，我正在考虑 Hermite curve对于非线性部分。

double Interpolate(
    double timeToAccel, double timeCruising, double timeToDecel,
    double finalPosition,
    double currentTime)
{
    //...
}

有人可以指出我这样做的一部分代码吗？我不知道如何对 Hermite 曲线进行积分，因此不知道我会在加速部分或减速部分移动多少，反过来我无法弄清楚线性中的速度是多少部分。

谢谢。

Some reference来说明我的问题。

编辑:

开始和结束速度为空，当前时间也是方法中的参数的一部分，我更新了签名。

基本上这个想法是想象在距离 d 上以恒定速度移动，这给出了总持续时间。然后我们添加加速和减速阶段，同时保持相同的持续时间，因此我们有一个未知的新巡航速度需要确定(因为我们在 Hermite 阶段的移动比在它们所取代的线性阶段中移动的要少)。与相同持续时间的线性移动相比，在 Hermite 阶段损失的移动量可能是曲线中顶部和底部区域之间的比率，这只是非专家的想法。

编辑:Roman 和 Bob10 提供了完整的工作解决方案。我实现了罗马的代码。谢谢你们，伙计们!感谢您的完美支持和详细的解决方案，您为我节省了长时间的搜索和试用。

Answer 1

首先，让我们创建一个三次 Hermite 样条函数:

/*
  t  - in interval <0..1>
  p0 - Start position
  p1 - End position
  m0 - Start tangent
  m1 - End tangent
*/
double CubicHermite(double t, double p0, double p1, double m0, double m1) {
   t2 = t*t;
   t3 = t2*t;
   return (2*t3 - 3*t2 + 1)*p0 + (t3-2*t2+t)*m0 + (-2*t3+3*t2)*p1 + (t3-t2)*m1;
}

现在您的任务是计算缓入和缓出部分的 p0、p1、m0 和 m1。让我们添加一些变量，使数学更容易编写:

double Interpolate(
    double timeToAccel, double timeCruising, double timeToDecel,
    double finalPosition,
    double currentTime) {

    double t1 = timeToAccel;
    double t2 = timeCruising;
    double t3 = timeToDecel;
    double x = finalPosition;
    double t = currentTime;

我们需要指定物体在停止加速和开始减速时应该在哪里。您可以随意指定这些并仍然产生平滑的运动，但是，我们想要一个有点“自然”的解决方案。

假设巡航速度为 v .在巡航过程中，物体移动距离 x2 = v * t2 .现在，当物体从 0 加速到速度 v 时，它会移动距离 x1 = v * t1 / 2 .减速相同 x3 = v * t3 / 2 .放在一起:

x1 + x2 + x3 = x

v * t1/2 + v * t2 + v * t3/2 = x

由此我们可以计算出我们的速度和距离:

    double v = x / (t1/2 + t2 + t3/2);
    double x1 = v * t1 / 2;
    double x2 = v * t2;
    double x3 = v * t3 / 2;

现在我们知道了一切，我们只需将它输入我们的三次 Hermite 样条插值器

    if(t <= t1) {
       // Acceleration
       return CubicHermite(t/t1, 0, x1, 0, v*t1);
    } else if(t <= t1+t2) {
       // Cruising
       return x1 + x2 * (t-t1) / t2;
    } else {
       // Deceleration
       return CubicHermite((t-t1-t2)/t3, x1+x2, x, v*t3, 0);
    }
}

我在 Excel 中对此进行了测试，这是可以使用的等效 VBA 代码。边界条件有一些被零除，我把这个问题留给读者作为练习

Public Function CubicHermite(t As Double, p0 As Double, p1 As Double, _
m0 As Double, m1 As Double) As Double
   t2 = t * t
   t3 = t2 * t
   CubicHermite = (2 * t3 - 3 * t2 + 1) * p0 + _
(t3 - 2 * t2 + t) * m0 + (-2 * t3 + 3 * t2) * p1 + (t3 - t2) * m1
End Function

Public Function Interpolate(t1 As Double, t2 As Double, t3 As Double, _
x As Double, t As Double) As Double
    Dim x1 As Double, x2 As Double, x3 As Double

    v = x / (t1 / 2 + t2 + t3 / 2)
    x1 = v * t1 / 2
    x2 = v * t2
    x3 = v * t3 / 2

    If (t <= t1) Then
       Interpolate = CubicHermite(t / t1, 0, x1, 0, v*t1)
    ElseIf t <= t1 + t2 Then
       Interpolate = x1 + x2 * (t - t1) / t2
    Else
       Interpolate = CubicHermite((t-t1-t2)/t3, x1+x2, x, v*t3, 0)
    End If
End Function