signal-processing - 为什么我的卷积结果在使用 FFT 时会发生偏移

Question

我正在使用 Radix-2 Cooley-Tukey FFT/FFT-inverse 实现卷积，我的输出是正确的，但在完成时发生了偏移。

我的解决方案是将输入大小和内核大小都归零为 2^m 以获得最小的 m，使用 FFT 转换输入和内核，然后将两个元素相乘并使用 FFT-inverse 将结果转换回来。

作为结果问题的示例:

 0  1  2  3  0  0  0  0
 4  5  6  7  0  0  0  0
 8  9 10 11  0  0  0  0
12 13 14 15  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0

带有身份内核

0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

变成

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 0  0  1  2  3  0  0  0
 0  4  5  6  7  0  0  0
 0  8  9 10 11  0  0  0
 0 12 13 14 15  0  0  0
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 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0

似乎任何大小的输入和内核都会产生相同的移位(1 行和 1 列)，但我可能是错的。我使用 this link 的在线计算器执行了相同的计算。 !并得到相同的结果，所以可能是我缺少一些基础知识。我现有的文献没有帮助。所以我的问题是，为什么会发生这种情况？

Answer 1

所以我最终找到了答案为什么会发生这种情况。答案是通过卷积的定义和在那里发生的索引给出的。所以根据定义，s 和 k 的卷积由

给出

(s*k)(x) = sum(s(k)k(x-k),k=-inf,inf)

这个公式不“知道”内核的中心，因此我们进行了抽象。将 c 定义为卷积的中心。当x-k = c在总和中时，s(k)就是s(x-c)。因此，包含有趣乘积 s(x-c)k(c) 的总和在索引 x 处结束。换句话说，向右移动 c。