haskell - 由于柯里化(Currying)，arity-n 的函数真的只是一个 n 类吗？可以做成 1 类吗？

Question

这个问题有一个很长的前奏，然后我才能真正问出来:)
假设类型 A 和 B 代表类别，那么函数

f :: B -> A

是两个范畴之间的态射。我们可以创建一个新类别，其中 A 和 B 作为对象，f 作为箭头，如下所示:

现在，让我们引入一个新的类别 C 和函数 g:

g :: C -> B -> A

我希望能够将 C 和 g 添加到我上面的类别中，但我不确定该怎么做。直观地说，我想要这样的东西:

但我以前从未在类别图中看到过类似的东西。为了使这个洁净，我可以引入一个虚拟箭头 g' 并构造一个像这样的 2 类:

但这似乎是一个迟钝的画面。 (当然，我们可以使用我上面画的图片作为正确图片的简写。)而且，现在也不完全清楚 g 和 g' 到底是什么。 g 不再是一个将类别 C 作为输入并返回态射::B -> A 的函数。相反，

g' :: (C -> C)

g :: (C -> C) -> (B -> A)

如果我们通过 g 身份，那么一切都会正常工作。但是如果我们给它传递一些其他函数，那么谁知道会发生什么？
所以我的问题是:n 类别中的 n 箭头真的是我们应该考虑具有 arity n 的函数的方式吗？还是有一些更简单的方法可以将此功能表示为我错过的标准类别？

Answer 1

在这里谈论“类别之间的态射”听起来像是一个可能的类别错误(哈，哈)。在 Haskell 中，我们最常谈论一个所谓的类别 哈斯克 ，这是其对象是类型 * 的类别的一些不一致的理想化 (0) 版本态射是函数。如果它们不是 的态射，则不清楚类别之间的“功能”是什么。哈斯克 .

另一方面，在更一般的设置中，您当然可以定义一个类别，其对象是其他类别(1)，具有您想要的任何态射，以满足必要的属性。通常的例子是 猫 , 类别 small categories其态射是仿函数。

也就是说，无论哪种情况，您的问题的答案都基本相同。要谈论两个对象之间的态射集合，就好像该集合本身就是一个对象——即，作为其他态射的源或目的地——你需要一个对象来扮演这个角色，并且需要某种方式来间接地谈论态射，以便你可以来回翻译。

如果我们已经有一种方法可以将对象对作为单个对象(通常称为某种“乘积”)进行讨论，那么一种方法是定义态射集合 A⊗B→C 和态射 A→CB 的集合，它允许对象 CB 代表态射 B→C 的集合。

如果有问题的“对象对”实际上是 categorical product , 我们有 a cartesian closed category , 这两个 哈斯克和 猫 是。在 Haskell 中，上述等价函数是 curry和 uncurry (2)。

当然，这不是谈论态射作为对象的唯一方式。一般概念简称为“封闭范畴”。但是，如果您正在考虑高阶函数和函数式编程，那么您可能会想到一个笛卡尔封闭类别。

(0) 这通常涉及诸如假装 ⊥ 不存在(因此所有函数都是全部的)以及将产生相同输出的函数视为相同的事情(例如，忽略性能差异)。

(1) 但是不要试图谈论对象都是类别的类别，否则Bertrand Russell's会给你生意的。

(2) 当然，以 the logician Haskell Curry 命名.