c++ - 使用定点代替浮点的快速平方根求逆

Question

我正在尝试实现 Fast Inverse Square Root对于固定点数，但我什么也没有。
我试图遵循与文章完全相同的原则，除了不是以浮点格式写入数字 x = (-1) ^ s * (1 + M) * 2 ^ (E-127) , 我使用的格式是 x = M * 2 ^ -16 ，这是一个 32 位定点数，有 16 位十进制位和 16 位小数位。
问题是我找不到“魔法常数”的值。根据我的计算，它不存在，但我不是数学家，我认为我做错了一切。
求解Y = 1/sqrt(x)，我用了如下推理(不知道对不对)。
在原始代码中，我们有用于近似牛顿的 Y0 由下式给出:

i = 0x5f3759df - (i >> 1);

这意味着我们将得到一个浮点数，由下式给出:

y0 = (1 + R2 - M / 2) * 2 ^ (R1 - E / 2);

这是因为操作 >>将指数和尾数除以 2，然后我们将数字作为整数进行减法。
按照文章中所示的步骤，我将 x 的格式设置为:

x = M * 2 ^ -16

为了执行相同的逻辑，我尝试将 Y0 定义为:

Y0 = (R2 - M / 2) * 2 ^ (R1 - (-16/2));

我试图找到一个数字，它可以最大限度地减少以下给出的错误:

error = (Y - Y0) / Y

无论 R1 的值如何，我都可以进行移位操作来校正最终结果的指数值，从而在固定点获得正确的结果。
我哪里错了？

Answer 1

做不到。
快速逆 sqrt 是由于浮点表示，它已经将数字拆分为 2 的幂(指数)和有效值。
可以办到。
使用与浮点相同的技巧，可以将您的定点转换为 2^exp * x。给定 uint32_t a , uint8_t exp = bias- builtin_count_leading_zeros(a) ; uint32_t b = a << exp ，仔细选择常量(和域 a )，不会出现下溢或溢出。
因此，您实际上将拥有一个自定义浮点表示，它是为此特定目的量身定制的，至少省略了符号位，并且指数的位数尽可能多，也可能是 8。