algorithm - 公差标准 Brent 方法

Question

布伦特方法的停止条件是

if abs(m) <= tol or fb == 0.0 then    // root found (interval is small enough) 
    found := true;

但是，如果 abs(m) 呢？达到低于所述公差但值 f(b)是不是接近于零？这种情况会被认为是收敛失败还是收敛成功？我可以看到 abs(m) < tolerance , 即 |b-a| < tolerance ，但函数的值不等于零或任何接近的值。不是 Brent 的方法的全部意义在于找到一个函数的根，使得 f(b) == 0.0或低于一定的容忍度？

当 |b-a| < tolerance时总是这样吗？即使函数的值不接近零，即低于给定的容差，也能实现收敛？

Answer 1

如 r是根然后你想近似 r (不是 f(r) )在给定的容差内，这正是这里发生的事情。 f的图当然是可能的此时几乎是垂直的，所以如果 b是你的近似值f(b)不靠近0 .如果发生这种情况，您需要更小的容差。对于大多数应用程序来说，知道小数点后 6 位的根就足够了，但是如果您的应用程序涉及一个函数，其值会随着小数点第 7 位的变化而发生显着变化，您当然会遇到问题。这就是为什么在数值分析类(class)中，方法中误差的表达式涉及导数的界限。您需要某种平滑度假设才能获得合理的结果。