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计算以下积分应为非零,并且 mathematica 正确给出非零结果
Integrate[ Cos[ (Pi * x)/2 ]^2 * Cos[ (3*Pi*x)/2 ]^2, {x, -1, 1}]
FullSimplify[
Integrate[Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2],
{x, -1, 1}],
Element[{m, n}, Integers]]
最佳答案
虽然我迟到了,但到目前为止,没有人给出完整的解决方案。
有时,在积分之前更好地了解被积函数是值得的。考虑,
ef = TrigReduce[
Cos[(Pi x)/2]^2 Cos[((2 n + 1) Pi x)/2] Cos[((2 m + 1) Pi x)/2]]/.
Cos[a_] :> Cos[ Simplify[a, Element[{m,n}, Integers] ] ]
(2 Cos[(m - n) Pi x] + Cos[(1 + m - n) Pi x] + Cos[(1 - m + n) Pi x] +
Cos[(m + n) Pi x] + 2 Cos[(1 + m + n) Pi x] + Cos[(2 + m + n) Pi x] )/8
Cos[q Pi x]
带积分
q
.现在,在集成
Cos[q Pi x]
时需要考虑两种情况。超过 -1 到 1(其中 q 是整数):
q == 0
和
q != 0
.
q = 0
:这是 Mathematica 在一般结果中遗漏的一个特殊情况,因为它意味着一个常数被积函数。 (我也经常会错过它,在手动执行此操作时,因此 Mathematica 不完全是罪魁祸首。)因此,在这种情况下,积分为 2。
Cos[ q Pi x ]
在
-1 < x < 1
, Mathematica 返回
2 Sin[ Pi q ]/( Pi q )
0
除非
q == 0
.此时,严格意义上的函数是未定义的,但是
Limit[Sin[x]/x, q -> 0] == 1
.作为奇点在
q == 0
是
removable ,积分为
2
当
q -> 0
.所以,Mathematica 不会错过它,它只是以一种不能立即识别的形式存在。
q != 0
: 自
Cos[Pi x]
是周期为 2 的周期,是
Cos[q Pi x]
的积分来自
x == -1
至
x == 1
永远结束
q
期间。换句话说,
Integrate[ Cos[q Pi x], {x, -1, 1},
Assumptions -> (Element[ q, Integers ] && q != 0) ] == 0
Integrate[ Cos[q Pi x], {x, -1, 1}, Assumptions -> Element[ q, Integers ] ] ==
Piecewise[{{ q == 0, 2 }, { 0, q!=0 }}]
intef = ef /. Cos[q_ Pi x] :> Piecewise[{{2, q == 0}, {0, q != 0}}] //
PiecewiseExpand
(Piecewise[{#1,
LogicalExpand[Reduce[#2 , {m, n}, Integers]] //
Simplify[#] &} & @@@ #1, #2] & @@ intef) /. C[1] -> m
Piecewise
有结构
{ { { value, condition } .. }, default }
Apply
(
@@
),条件列表是第一个参数,默认是第二个。为了处理这个,我需要简化每个值的条件,所以我使用第二个缩写形式
Apply
(
@@@
) 在条件列表中,以便对于每个值条件对我得到
{ value, simplified condition }
Reduce
将条件限制为整数,
LogicalExpand
帮助消除冗余,以及
Simplify
来限制条款的数量。
Reduce
内部使用
arbitrary constant ,
C[1]
,它设置为
C[1] == m
,所以我们设置
C[1]
返回
m
完成简化
Piecewise[{
{3/4, (1 + n == 0 || n == 0) && (1 + m == 0 || m == 0)},
{1/2, Element[m, Integers] &&
(n == m || (1 + m + n == 0 && (m <= -2 || m >= 1)))},
{1/4, (n == 1 + m || (1 + n == m && (m <= -1 || m >= 1)) ||
(m + n == 0 && (m >= 1 || m <= 0)) ||
(2 + m + n == 0 && (m <= -1 || m >= 0))) &&
Element[m, Integers]},
{0, True}
}
m
的值和
n
在 3/4 的情况下。似乎 3/4 的情况可能是其他两个的交集,因此是它们的总和。 (我没有做过计算,但我强烈怀疑它是真的。)
Piecewise
按顺序评估条件(我认为),所以没有机会得到这个不正确。
Piecewise
的简化object 并不像它应有的那样有效。问题在于替换规则的位置
C[1] -> m
.碰巧在
Simplify
的过程中迟到了来利用它。但是,如果将其带入
LogicalExpand
和假设被添加到
Simplify
(Piecewise[{#1,
LogicalExpand[Reduce[#2 , {m, n}, Integers] /. C[1] -> m] //
Simplify[#, {m, n} \[Element] Integers] &} & @@@ #1, #2] & @@ intef)
Piecewise[{
{3/4, -2 < m < 1 && -2 < n < 1},
{1/2, (1 + m + n == 0 && (m >= 1 || m <= -2)) || m == n},
{1/4, 2 + m + n == 0 || (m == 1 + n && m != 0) || m + n == 0 || 1 + m == n},
{0, True}
}]
关于wolfram-mathematica - 给定整数约束在 Mathematica 中简化积分结果的正确方法,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/7743774/
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