binary - 用于二进制数加法和比较的图灵机

Question

今天是个好日子!

我正在尝试解决这个问题 Exercise 为学习目的。有人可以指导我解决这三个问题吗？

就像我尝试了第一个问题，以“+”分隔的 2 个二进制数相加。在那里我通过用相应数量的 1 或零表示每个数字来尝试 2 个数字加法，例如 5 = 1 1 1 1 1 或 0 0 0 0 0 然后将它们相加，结果也将采用与表示相同的格式，但如何添加或表示 2 个二进制文件并用 + 分隔它们，没有得到任何线索。图灵机的头部会从左边移动到加号然后左右移动+号吗？但是将如何执行添加。就我的一点知识而言，TM 不能简单地添加二进制文件，我们必须制定一些逻辑来表示它的二进制文件，就像简单地将 2 个数字相加一样。比较2个二进制文件的情况类似吗？
问候

Answer 1

我将从问题 2 和 3 开始，因为它们实际上比问题 1 容易。

我们假设我们有有效的输入(两边的非空二进制字符串，没有前导零)，所以我们不需要做任何输入验证。要检查数字是否相等，我们可以简单地在 = 符号上来回弹跳并一次划掉一位数字。如果我们在任何时候发现不匹配，我们就会拒绝。如果我们在左边有一个数字，而在右边找不到一个，我们就拒绝。如果左边的数字用完而右边还有一些，我们拒绝。否则，我们接受。

Q    T    Q'    T'    D

q0   0    q1    X     right    // read the next (or first) symbol
q0   1    q2    X     right    // of the first binary number, or
q0   =    q7    =     right    // recognize no next is available

q1   0    q1    0     right    // skip ahead to the = symbol while 
q1   1    q1    1     right    // using state to remember which
q1   =    q3    =     right    // symbol we need to look for
q2   0    q2    0     right
q2   1    q2    1     right
q2   =    q4    =     right

q3   X    q3    X     right    // skip any crossed-out symbols
q3   0    q5    X     left     // in the second binary number
q3   1,b  rej   1     left     // then, make sure the next
q4   X    q4    X,b   right    // available digit exists and
q4   0,b  rej   0,b   left     // matches the one remembered
q4   1    q5    X     left     // otherwise, reject

q5   X    q5    X     left     // find the = while ignoring
q5   =    q6    =     left     // any crossed-out symbols

q6   0    q6    0     left     // find the last crossed-out
q6   1    q6    1     left     // symbol in the first binary
q6   X    q0    X     right    // number, then move right
                               // and start over

q7   X    q7    X     right    // we ran out of symbols
q7   b    acc   b     left     // in the first binary number,
q7   0,1  rej   0,1   left     // make sure we already ran out
                               // in the second as well

这个 TM 可以首先通过确保两个二进制字符串都是非空的并且不包含前导零(划掉它找到的任何东西)来清理输入。

做“大于”，你可以很容易地做到以下几点:

检查第一个二进制数的长度(去除前导零后)是否大于、等于或小于第二个二进制数(去除前导零后)的长度。如果第一个比第二个长，请接受。如果第一个比第二个短，则拒绝。否则，继续执行步骤 2。

像在另一个问题中一样检查相等性，但是如果在任何时候第一个数字中有 1 并且在第二个数字中有 0，则接受。这是有效的，因为我们知道没有前导零，数字具有相同的位数，并且我们正在按重要性的降序检查数字。如果您发现其他不匹配或您确定数字相等，则拒绝。

要添加数字，问题说要递增和递减，但我觉得只添加进位不会太难。该程序的概要是这样的:

以进位 = 0 开始。

转到第一个数字的最低有效位。进入状态(dig=X，carry=0)

转到第二个数字的最低有效位。转到状态 (sum=(X+Y+carry)%2,carry=(X+Y+carry)/2)

跟随第二个数字并写下总和数字。

返回并继续该过程，直到其中一个数字用完数字。

然后，继续使用仍然有数字的任何数字，只添加这些数字和进位。

最后，删除原始输入并将总和向后复制到磁带的开头。

磁带可能经历的不同步骤的示例:

#1011+101#
#101X+101#
#101X+10X#
#101X+10X=#
#101X+10X=0#
#10XX+10X=0#
#10XX+1XX=0#
#10XX+1XX=00#
#1XXX+1XX=00#
#1XXX+XXX=00#
#1XXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=000#
#XXXX+XXX=0000#
#XXXX+XXX=00001#
#XXXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=0000#
#1XXX+XXX=000#
#10XX+XXX=000#
#10XX+XXX=00#
#100X+XXX=00#
#100X+XXX=0#
#1000+XXX=0#
#1000+XXX=#
#10000XXX=#
#10000XXX#
#10000XX#
#10000X#
#10000#