math - floor(sqrt(floor(x))) 中哪一层是多余的？

Question

我有 floor(sqrt(floor(x))) .这是真的:

内部floor是多余的。

外floor是多余的。

Answer 1

显然，外层不是多余的，因为例如，sqrt(2)不是整数，因此 floor(sqrt(2))≠sqrt(2) .

也很容易看出sqrt(floor(x))≠sqrt(x)对于非整数 x .自 sqrt是单调函数。

我们需要找出是否floor(sqrt(floor(x)))==floor(sqrt(x))对于所有有理数(或实数)。

让我们证明如果 sqrt(n)<m然后 sqrt(n+1)<m+1 , 对于整数 m,n .很容易看出

n<m^2 ⇒ n+1 < m^2+1 < m^2+2m+1 = (m+1)^2

因此， sqrt是montone我们有

sqrt(n) < m -> sqrt(n+1) < m+1 -> sqrt(n+eps)<m+1 for 0<=eps<1

因此 floor(sqrt(n))=floor(sqrt(n+eps))所有 0<eps<1和整数 n .否则假设 floor(sqrt(n))=m和 floor(sqrt(n+eps))=m+1 ，并且您遇到了 sqrt(n)<m+1 的情况然而 sqrt(n+eps)>=m+1 .

因此，假设外部 floor需要，内部 floor是多余的。

换句话说，它总是正确的

floor(sqrt(n)) == floor(sqrt(floor(n)))

内部怎么样 ceil ?

不难看出 floor(sqrt(n)) ≠ floor(sqrt(ceil(n))) .例如

floor(sqrt(0.001))=0, while floor(sqrt(1))=1

但是你可以用类似的方式证明

ceil(sqrt(n)) == ceil(sqrt(ceil(n)))