floating-point - 点积的最坏情况精度是多少？

Question

假设处理器只有符合 IEEE-754 的“fadd”和“fmul”操作(没有“dot”或“fma”指令)。点积运算的简单实现将达到的最坏情况精度是多少。例如，对于长度为 3 的向量:

dot(vec_a, vec_b) = vec_a.x*vec_b.x + vec_a.y*vec_b.y + vec_a.z*vec_b.z

这是我的分析，但我不确定它是否正确:对于长度为 N 的向量，有 N 次乘法和 N-1 次加法，产生 2N-1 次浮点运算。在最坏的情况下，对于这些操作中的每一个，表示对于准确结果来说都太小了，因此中间结果将被四舍五入。每个舍入加起来 0.5 ULP 误差。那么最大误差将是 (2N-1)*0.5 = N-1/2 ULP？

Answer 1

与许多 FP 误差分析一样，误差在很大程度上取决于输入的最大幅度。在这种情况下，粗略的错误界限是 2 * FLT_EPS * dot(abs(vec_a), abs(vec_b))，其中 abs 表示元素绝对值向量的值。