java - 比较一对 3 个变量的数学方法

Question

我被赋予了在 Java 中比较一对 3 个正双变量的任务，同时忽略它们的顺序。
我做了以下事情:

if ((a1 == a2 && b1 == b2 && c1 == c2) ||
    (a1 == a2 && b1 == c2 && c1 == b2) ||
    (a1 == b2 && b1 == a2 && c1 == c2) ||
    (a1 == b2 && b1 == c2 && c1 == a2) ||
    (a1 == c2 && b1 == a2 && c1 == b2) ||
    (a1 == c2 && b1 == b2 && c1 == a2))
    // if true

我从老师那里听说，有一种数学方法可以比较这对 3 个数字。

到目前为止，我已经尝试比较它们的加法、减法、它们乘以 2 的幂的总和，但我总是发现这样一种情况，其中对是不同的并且陈述是正确的。

有任何想法吗？

编辑:

我已经发了作业，老师说我的回答是真的。我是出于好奇而问的。

Answer 1

TL; 博士

比较每个三元组的总和、每个三元组的乘积以及每个三元组所有可能组合的乘积总和。

坚韧不拔

由 Fundamental Theorem of Algebra ，对于 N 次多项式，我们必须有 N 个根。

使用这个事实，我们让我们的零为 a1, a2, and a3 .现在，我们找到这个多项式的系数。

(x - a1) * (x - a2) * (x - a3)
(x^2 - (a1 + a2) * x + a1a2) * (x - a3) 
x^3 - (a1 + a2) * x^2 + (a1a2) * x - a3 * x^2 + (a1a3 + a2a3) * x - a1a2a3

x^3 + (-1 * (a1 + a2 + a3)) * x^2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3) * x + (-1 * a1a2a3)

如果两个多项式是等价的，则它们必须具有相同的根(同样由 FTA)。因此，我们需要做的就是比较生成的多项式的系数。

因此，如果，

(-1 * (a1 + a2 + a3) == (-1 * (b1 + b2 + b3))
      ---equivalently---
a1 + a2 + a3 == b1 + b2 + b3

和

(a1a2 + a1a3 + a2a3) == (b1b2 + b1b3 + b2b3)

和

-1 * a1a2a3 == -1 * b1b2b3
      ---equivalently---
a1a2a3 == b1b2b3

那么我们可以得出三元组 a1, a2, a3和 b1, b2, b3是等价的。

这值得么？

从实际的角度来看，让我们看看这是否确实比 OP 所示的蛮力检查更有效。

首先检查:求和比较。这需要总共 4 次添加和 1 次相等性检查。

Check total = 5; Running total = 5

第二个检查:乘积、总和和比较。这需要 6 次总乘法、4 次总加法和 1 次相等性检查。

Check total = 11; Running total = 16

第三个检查:产品和比较。这需要 4 次总乘法和 1 次相等性检查。

Check total = 5; Running total = 21

加上两个逻辑与运算，“生成多项式方法的系数”的二元运算总数只需要:

23 binary operations

蛮力检查需要 18 次总相等性检查、12 次逻辑 AND 比较和 5 次逻辑 OR 比较，总共:

35 binary operations

所以，严格来说，答案是肯定的，“生成多项式方法的系数”确实更有效。然而，正如@WJS 所指出的，蛮力方法为 short circuiting 提供了更多机会。从而与数学方法一样/更有效地执行。

为了完全彻底

我们不能跳过检查每个三元组所有可能组合的乘积总和。如果我们忽略这一点，就会有无数失败的例子。考虑 (23, 32, 45)和 (24, 30, 46) *:

23 + 32 + 45 = 100
24 + 30 + 46 = 100

23 * 32 * 45 = 33120
24 * 30 * 46 = 33120

它们不等价，但给出相同的总和和乘积。然而，它们不会给出所有可能组合的乘积之和:

23 * 32 + 23 * 45 + 32 * 45 = 3211
24 * 30 + 24 * 46 + 30 * 46 = 3204

*如果有人好奇如何推导出与上述类似的示例，首先生成整数 的所有整数分区。男 长度为 3，取他们的产品，找到重复项，然后选择一对。