recursion - 在 Mathematica 中，为什么递归函数中的替换不会终止？

Question

想象一下，我在 Mathematica 中定义了一个递归阶乘，如下所示:

Clear[fact]
fact[0] = 1
fact[n_] := n fact[n - 1]

评估 fact[10] 确认函数工作并终止。

一个主要的例子，但它在这个问题中起到了它的作用。实际上，无论如何，我的问题都与递归函数定义有关。

我希望评估以下替代品也会终止:

x fact[x-1] /. x -> 2

唉，它遇到了递归深度限制:

$RecursionLimit::reclim: Recursion depth of 256 exceeded.

我希望看到类似的东西:

2 fact[2-1]

或者只是值(value)

2

更新: 的另一种递归定义事实确实按预期工作:

Clear[fact]
fact[n_] := If[n < 1, 1, n fact[n - 1]]

但这个事实(双关语；-)让我觉得更加神秘:为什么它的行为如此不同？

我的问题是双重的:

即使有内置帮助并在网上搜索线索，我也无法解释为什么 Mathematica 显然坚持保留符号结果，而不是评估“中间”结果并很好地终止。谁敢提出可行的解释？

我如何说服 Mathematica 按照我的期望执行(除了使用 If [] 使用替代方案)？

我真的对这个感到困惑，我真的希望那里有人可以帮助我。

/吐温

Answer 1

正在尝试 u[x_] := x; Trace[x*u[x] /. x -> 2] ，它首先计算 x和 u[x] .在您的情况下，它首先尝试评估 fact[x-1]更换前 x 2，并达到递归限制。
Attributes[ReplaceAll]显示它没有属性 HoldFirst ，所以它从评估它的第一个参数开始。例如，

ReleaseHold@ReplaceAll[Hold[x*fact[x - 1]], x -> 2]

给出预期 2 ，因为它持有第一个参数，替换，然后释放持有，如你所愿。

另一种方法是

Unprotect[ReplaceAll]
SetAttributes[ReplaceAll, HoldFirst]
ReplaceAll[x*fact[x - 1], x -> 2]

但不要这样做。

不过，肯定有人很快会给出更好的解释。

编辑:为了回答关于为什么的附加问题

Clear[factif]
factif[n_] := If[n < 1, 1, n factif[n - 1]]

不会导致无限递归:以这种方式定义， factif[x]计算结果为 If[x < 1, 1, x factif[x - 1]] , 自 x<1无法评价。因此，在尝试评估 ReplaceAll 的第一个参数后，它仍然保持这种形式。 ，然后发生替换等。