opengl - OpenGL 中的投影矩阵真的是 "projection matrix"吗？

Question

投影矩阵将向量从高维空间投影到子空间。我本来希望 OpenGL 中的投影矩阵将 R3 中的一个点投影到二维平面上。这似乎得到了互联网上很多文献的支持。许多站点暗示投影矩阵将 3D 世界投影到平面上，这就是绘制的内容。然而，我觉得这些解释中的大多数都跳过了几个步骤。其中许多似乎相互矛盾，所以我想澄清一下我从自己的分析中得出的结论。

有人可以确认(或纠正错误):

OpenGL 中的投影变换实际上并不是一个投影矩阵，而是将一个点变换到裁剪空间(它仍然是 R3 域的一部分)，而实际投影到 2D 平面上的过程稍后会作为管道的固定函数发生。

投影矩阵不应用透视划分；然而，它确实需要设置 w 坐标，以便在稍后发生透视分割时(作为管道的固定功能)点正确放置在 NDC 的内部或外部。

裁剪空间是 x,y 轴上 (-1,+1) 和 z 轴上 (n,f) 之间的框，而 NDC 是所有轴上 (-1,+1) 之间的框。

我分析了以下投影矩阵，得出上述结论:

[ 2n/(r-l)     0     (r+l)/(r-b)      0     ]
[    0     2n/(t-b)  (t+b)/(t-b)      0     ]
[    0         0    -(f+n)/(f-n) -2fn/(f-n) ]
[    0         0         -1           0     ]

根据该分析，我得出结论，截锥体内的任何点都将位于沿 x,y 轴的剪辑边界内；它可能在沿 z 轴的边界之外，但是一旦发生透视分割(w 现在是旧的 -z)，该点将完全在剪辑空间内。

由此我还得出结论，对于在 MVP 变换之后可见的点，它的 x、y 和 z/w 坐标必须在 +/-1 之间，并且透视分割和实际投影发生在顶点着色器之后。

如果适用的答案仅适用于现代 OpenGL(3.3 核心或更高版本)。

Answer 1

OpenGL 中的投影矩阵将点转换为裁剪空间。但这已经是一个预测。矩阵乘法之后唯一要做的就是透视除法。

真

剪辑空间是每个轴上从 [-w 到 w] 的空间，因为剪辑空间和 NDC 之间发生的唯一操作是透视分割。 NDC 在每个轴上从 [-1 到 1]。

补充说明:

在数学上，OpenGL 投影矩阵将一个 4D 空间(P^4)映射到另一个 4D 空间(剪辑空间)。这可以通过矩阵的形式很容易看出(4x4 矩阵映射 4D -> 4D)。通过透视划分，4D 剪辑空间通过同质化被截断为 3D NDC (R^3) 空间。

一个点在投影后可见，当它的 x,y,z 坐标在 [-w, w] 之间时。裁剪发生在透视分割之前的原因是，NDC 不一定是立方空间(它在 OpenGL 中是一个，但在 DirectX 中，例如，NDC 在 [-1,1] 中是 x,y，在 [0, 1])

几何投影通常定义为从一个空间 (O) 到另一个空间 (T) 的映射 p。这将被写为
O --p--> T
在某些情况下，这种映射可以通过欧几里德空间中的变换矩阵来描述(例如，平行投影会起作用)，但在很多情况下这是不可能的(尤其是在 O 中的平行线不平行的情况下)不再在 T 中)。这就是为什么需要投影空间的原因。

我现在最好停在这里，因为从数学的角度来看它变得越来越复杂，但如果你想深入研究这个话题，我建议阅读以下文章:

Wikipedia Projective Space
Wikipedia Projective Geometry
Video about projection in general (this, and the next one)