r - 在 R 中使用 fft 从特征函数计算密度

Question

我想计算特征函数已知的分布的密度函数。作为一个简单的例子，以正态分布为例。

norm.char<-function(t,mu,sigma) exp((0+1i)*t*mu-0.5*sigma^2*t^2)

然后我想使用 R 的 fft 函数。但我没有得到正确的乘法常数，我必须对结果重新排序(取第二半，然后取前半值)。我试过类似的东西

 xmax = 5
 xmin = -5
 deltat = 2*pi/(xmax-xmin)
 N=2^8
 deltax = (xmax-xmin)/(N-1)
 x = xmin + deltax*seq(0,N-1)
 t = deltat*seq(0,N-1)
 density = Re(fft(norm.char(t*2*pi,mu,sigma)))
 density = c(density[(N/2+1):N],density[1:(N/2)])

但这仍然不正确。在密度计算的背景下，有人知道 R 中的 fft 的一个很好的引用吗？显然，问题是连续 FFT 和离散 FFT 的混合。有人可以推荐一个程序吗？
谢谢

Answer 1

只是麻烦:拿笔和纸，
写出你想要计算的积分
(特征函数的傅立叶变换)，
将其离散化，并重写条款，使它们看起来像
离散傅立叶变换(FFT 假设区间开始
在零)。

请注意 fft是非归一化变换:没有 1/N因素。

characteristic_function_to_density <- function(
  phi, # characteristic function; should be vectorized
  n,   # Number of points, ideally a power of 2
  a, b # Evaluate the density on [a,b[
) {
  i <- 0:(n-1)            # Indices
  dx <- (b-a)/n           # Step size, for the density
  x <- a + i * dx         # Grid, for the density
  dt <- 2*pi / ( n * dx ) # Step size, frequency space
  c <- -n/2 * dt          # Evaluate the characteristic function on [c,d]
  d <-  n/2 * dt          # (center the interval on zero)
  t <- c + i * dt         # Grid, frequency space
  phi_t <- phi(t)
  X <- exp( -(0+1i) * i * dt * a ) * phi_t
  Y <- fft(X)
  density <- dt / (2*pi) * exp( - (0+1i) * c * x ) * Y
  data.frame(
    i = i,
    t = t,
    characteristic_function = phi_t,
    x = x,
    density = Re(density)
  )
}

d <- characteristic_function_to_density(
  function(t,mu=1,sigma=.5) 
    exp( (0+1i)*t*mu - sigma^2/2*t^2 ),
  2^8,
  -3, 3
)
plot(d$x, d$density, las=1)
curve(dnorm(x,1,.5), add=TRUE)