floating-point - 在 double 的 MIN/MAX 范围内是否有 double 不能表示的整数？

Question

我意识到每当处理 IEEE 754 double 和浮点数时，有些数字无法表示，尤其是当人们试图表示小数点后有很多数字时。这很好理解，但我很好奇在 double (或浮点数)的 MIN/MAX 范围内是否有任何整数无法表示，因此需要四舍五入为最接近的可表示的 IEEE 754 表示？

例如，非常大的数字有时会以 double 或浮点数表示，即使它们是整数。很明显，直接使用 int64 或一些这样的大整数数据类型会更好，但人们仍然经常使用 double 数来表示大数。

是否有任何数字可以称为不可表示的，或者您能否给我一个数学原因，为什么它不会成为问题？

Answer 1

当然，有些整数不能表示为 double 浮点数。

所有不超过 Pow(2, 53) 的整数或 9007199254740992 ，是可表示的。来自 Pow(2, 53)至 Pow(2, 54) (即 18014398509481984 )，只能表示偶数。奇数将被四舍五入。

当然，它会一直这样。来自 Pow(2, 54)至 Pow(2, 55)只有 4 的倍数(那些被 4 整除的整数)是可表示的，来自 Pow(2, 55)至 Pow(2, 56)只有 8 的倍数，依此类推。

这是因为 double-precision floating-point format尾数(有效数)有 53 位(二进制数字)。

验证我的主张很容易。例如，取数字 10000000000000001作为 integer64 .将其转换为 double然后回到 integer64 .您将看到精度损失。

当您采用非常大的 double 数时，当然可以表示整数的很小百分比。例如靠近 1E+300 (在 Pow(2, 996) 和 Pow(2, 997) 之间)我们说的是 Pow(2, 944) 的倍数( 1.4870169084777831E+284 )。这与 double 的事实是一致的。精确到大约 16 位十进制数字。所以一个有 300 个数字的整数只会在它的第一个大约时被“记住”。 16 位数字(实际上是 53 位二进制数字)。

附加: 不能精确表示的十的第一个幂是 1E+23 (或 100 千分之一，短标命名风格)。在那个数附近，只有 16777216 的整数倍(即 Pow(2, 24) )是可表示的，但 10 的 23 次方显然不是 2 的 24 次方的倍数。质因数分解是 10**23 == 2**23 * 5**23 ，所以我们只能将 2 整除 23 次，而不是需要的 24 次。